10 способов решения квадратных уравнений

10 способов решения квадратных уравнений Работу выполнила учитель математики МБОУ «СОШ №31» г.Энгельса Волосожар М.И.

Способ 1: разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0.   Разложим левую часть на множители: х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).   Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0   Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

Способ 2: метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.   Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:   х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как   х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2. Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х - 7 = 0,   прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.   Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.   Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

Способ 3: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем:   4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0, (2ax + b)2 = b2 - 4ac, 2ax + b = ± √ b2 - 4ac, 2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Способ 4 : Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид   х2 + px + c = 0. (1)   Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x1 x2 = q, x1 + x2 = - p   Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны. а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.   Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.   б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .   Например, x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0; x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Способ 5: Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение   ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.   Умножая обе его части на а, получаем уравнение   а2х2 + аbх + ас = 0.   Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению   у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем   х1 = у1/а и х1 = у2/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета   у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5 у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3. Ответ: 2,5; 3.

Способ 6: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение   ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.   Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение   x2 + b/a • x + c/a = 0.   Согласно теореме Виета x1 + x2 = - b/a, x1x2 = 1• c/a.   По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,   x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a, x1x2 = - 1• ( - c/a), т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Примеры. Примеры. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = -208/345. Ответ: 1; -208/345.   2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = 115/132. Ответ: 1; 115/132.

Способ 7:Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении Если в уравнении   х2 + px + q = 0   перенести второй и третий члены в правую часть, то получим   х2 = - px - q.   Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая .