Элементы линейной алгебры презентация

Матрицы Элементарные преобразования и действия над матрицами

5. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю. 6. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О. 7. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор – столбец, или вектор - строка). 8.Матрица АТ называется транспонированной к А, если в матрице А строки заменены на столбцы соответствующих номеров:

Элементарные преобразования матриц 1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; 2. Умножение всех элементов ряда матрицы на число отличное от нуля; 3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число. Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А В. При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической.

Действия над матрицами Суммой матриц одинакового размера называется матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Обозначение: А+В. Аналогично определяется разность матриц. При умножении матрицы на число, умножаются все элементы данной матрицы.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Такие матрицы называются согласованными (n × m и m × k) Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Такие матрицы называются согласованными (n × m и m × k) Произведением 2-х согласованных матриц и называется матрица размера , элементы которой вычисляются по формуле: Cij=ai1∙b1j+ai2∙b2j+….+aikbkj+…..+ain∙bnj Таким образом, элементом новой матрицы является , который равен сумме произведений элементов n строки первой матрицы на соответствующие элементы k столбца второй матрицы. Возможно умножение матрицы на вектор-столбец справа и на вектор-строку слева.

Свойства произведения матриц 1. А × О = О 2. А × Е = А 3. А × В ≠ В × А 4. α (АВ) = (αА) × В = А × (αВ) 5. АВС = (АВ) × С = А × (ВС) 6. А (В + С) = АВ + АС,

Определители. Ранг матрицы.

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A, называемое ее определителем, следующим образом: 1. n = 1. А = (a1); det A = a1 2. n = 2. 3. n = 3.

Определитель n-го порядка.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы А обозначается rangA или r(A). Из определения следует: 1. Ранг матрицы Аmxnне превосходит меньшего из ее размеров. 2. r(А)=0 тогда и только тогда , когда все элементы матрицы равны 0. 3. Для квадратной матрицы n-ого порядка r(А)=n, тогда и только , когда матрица А – невырожденная.

Свойства ранга матрицы 1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется. 2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится. 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы. Пример: найти ранг матрицы rang A = 2

Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Формулы Крамера.

Невырожденные матрицы Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель не равен нулю. В противном случае матрица А называется вырожденной. Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица Где Аik - алгебраическое дополнение элемента аik данной матрицы А.

Матричный метод решения системы Матричная запись системы

В матричном виде: АХ = В, где В матричном виде: АХ = В, где А - основная матрица системы; Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов. Если А – невырожденная, т.е. ∆ ≠ 0 и А имеет единственную А-1 , то А-1 АХ = А-1В, т.е. Х = А-1В – решение системы уравнений Алгоритм нахождения А-1 1) det А ≠ 0 2) составить для А союзную матрицу А* 3) умножить А* на 1/∆ → А-1

Алгоритм решения систем линейных уравнений матричным методом 1. Составляем матрицы А, В и Х 2. Вычисляем определитель матрицы А 3. Находим обратную матрицу А-1 4. Находим решение системы уравнений по формуле: Х=А-1В

Пример

Алгоритм решения систем линейных уравнений по формулам Крамера 1. Составляем матрицы А, В, Х 2. Вычисляем определитель матрицы А. 3. Составляем определитель 1 путем замены первого столбца в матрице А на вектор-столбец матрицы В 4.Вычисляем определитель 1 и находим первую неизвестную по формуле:

6. Вычисляем определитель 2 и находим вторую неизвестную по формуле: 6. Вычисляем определитель 2 и находим вторую неизвестную по формуле:

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Одним из универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических уравнений систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (треугольному) виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Предыдущей пример демонстрирует совместную определенную систему линейных уравнений. Если система неопределенная каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Решить систему (несовместную) методом Гаусса