Презентация по геометрии на темы "Касательная к окружности" и "Вписанные, центральные углы." презентация

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу , то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу , то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Касательная к окружности Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. А  точка касания.

Касательная к окружности. Теорема: касательная окружности перпендикулярна к радиусу,проведенному в точку касания. Доказательство: пусть p- касательная к окружности с центром O,А- точка касания.Докажем,что касательная p перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим,что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой p.Так как перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой p, меньше наклонной OA, то расстояние от центра О окружности до прямой p меньше радиуса. Следовательно, прямая p и окружность имеют две общие точки.Но это противоречит условию: прямая p-касательная.Таким образом,прямая p перпендикулярна к радиусу OA. Теорема доказана.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. По теореме о свойстве касательной  1 и  2 прямые, поэтому АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу АО и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и  3 =  4, что и требовалось доказать.

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной Из условия теоремы следует, что радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и следовательно, прямая и окружность имеет только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом . Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному  АОВ соответствуют две дуги с концами А и В. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом . Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному  АОВ соответствуют две дуги с концами А и В. Если  АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности.  ALB = 180º

Если  АОВ (центральный) неразвернутый, то говорят, что  АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. Про дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности. Если  АОВ (центральный) неразвернутый, то говорят, что  АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. Про дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности.

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если  АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального  АОВ. Дугу окружности можно измерять в градусах. Если  АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального  АОВ.

Если же  АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360º -  АОВ (центральный). Если же  АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360º -  АОВ (центральный).  ALB = 360º -  АОВ.

Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный  АВС опирается на  АМС. Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный  АВС опирается на  АМС.

Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается Пусть  АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на  АС. Докажем, что  АВС = половине  АС (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно  АВС. Рассмотрим их.

Рассмотрим 1 случай расположения луча ВО относительно  АВС. Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае  АС меньше полуокружности, поэтому  АОС=  АС. Так как  АОС  внешний угол равнобедренного  АВО, а  1 и  2 при основании равнобедренного треугольника равны, то  АОС =  1+  2 = 21. Отсюда следует, что 21 = АС или  АВС =  1 = 1/2  АС.

Рассмотрим 2 случай, когда луч ВО делит  АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает  АС в некоторой точке D. Точка D разделяет  АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1  АВD = 1/2 AD и  DBC= 1/2  DC. Складывая эти равенства попарно, получаем:  ABD +  DBC = 1/2  АD + 1/2  DC, или  АВС= 1/2  АС.

Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно  АВС  АВD равнобедренный,  AOD - внешний, т.к.  ABD - равнобедр. То  1 =  2 =>  AOD =  1 +  2 = 21 =  AD, следовательно  ABD = 1/2  AD. Аналогично:  ВСО равнобедр.  COD - внешний, следовательно  СВD= 1/2  CD. Следовательно,  АВС=1/2  АС

РАССМОТРИМ 1 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ Вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Рассмотрим 2 следствие из теоремы Вписанный угол, опирающийся на полуокружность  прямой.