ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫМодульный курс для аспирантов 1-го года обучения(12 академических часов) презентация

ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ Модульный курс для аспирантов 1-го года обучения (12 академических часов)

КРАТКАЯ БИОГРАФИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ О НАУЧНОМ РУКОВОДИТЕЛЕ Заканчивал учебные заведения: Саратовский политехнический институт (1982 г.); аспирантуру Московского энергетического института (1988 г.); докторантуру Московского государственного университета (1999 г.) Темы защищенных диссертаций: кандидатской – «Разработка и исследование моделей оценки достоверности встроенного псевдослучайного тестирования БИС» (защищена в 1990г., технические науки); докторской – «Модели, стратегии и системы управления портфелем производных финансовых инструментов» (защищена в 2006г., технические науки. Специальность 05.13.10 – Управление в социальных и экономических системах). Руководил подготовкой 1 кандидатской диссертации (защищена в 2010 году, специальность 08.00.10); Руководит работой 3 аспирантов по специальности 08.00.13; Член Диссертационного совета МФПУ «Синергия» Д 521.042.02 по специальности 08.00.13 Соавтор монографии «Энциклопедия финансового риск-менеджмента, опубликовал более 50 научных статей; Член редсовета журнала «Управление финансовыми рисками» Выступал с докладами на 11 и 12 международных конференциях по стохастическому программированию (Австрия, 2007г. и Канада, 2010г.). Financial Risk Manager - Certified by the Global Association of Risk Professionals (www.garp.com)

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ управление портфелем ценных бумаг; управление банковскими рисками; теория производных финансовых инструментов и хеджирование рисков; имитационное моделирование финансовых рынков

БАЗОВАЯ НАУЧНАЯ СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики Возможные пункты паспорта научной специальности: 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов; 2.2. Конструирование имитационных моделей как основы экспериментальных машинных комплексов и разработка моделей экспериментальной экономики для анализа деятельности сложных социально-экономических систем и определения эффективных направлений развития социально-экономической и финансовой сфер.

ПРИМЕРЫ ТЕМ ДИССЕРТАЦИЙ ЗАЩИТИВШИХСЯ И ОБУЧАЮЩИХСЯ АСПИРАНТОВ Стратегии эффективного размещения средств в фонды коллективного инвестирования (защищена в 2010 году, специальность 08.00.10); Управление портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования (планируется защита в 2012 году, специальность 08.00.13); Логико-вероятностные модели оценки операционных рисков коммерческого банка (специальность 08.00.13); Исследование и разработка алгоритмов оптимизации портфеля при вероятностных ограничениях (специальность 08.00.13)

ПРИМЕР СТРУКТУРЫ ДИССЕРТАЦИИ тема: «УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ НА ОСНОВЕ МНОГОЭТАПНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ», 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики Глава 1. Фьючерсные и опционные контракты. 1.1. Спецификация и ценообразование фьючерсных контрактов. 1.2. Спецификация и ценообразование опционов. 1.3. Древовидные модели ценообразования опционов. 1.4. Биномиальные деревья с переменным шагом для моделирования портфеля производных инструментов. Глава 2. Модели многоэтапного стохастического программирования. 2.1. Особенности многоэтапного стохастического программирования. 2.2. Модели многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. 2.3. Модель рынка фьючерсов и опционов. 2.4. Модель управления портфелем производных финансовых инструментов.

ПРИМЕР СТРУКТУРЫ ДИССЕРТАЦИИ тема: «УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ НА ОСНОВЕ МНОГОЭТАПНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ», 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики Глава 3. Управление портфелем производных финансовых инструментов. 3.1.Метод приближенного решения задач многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. 3.2. Программные средства решения задачи управления портфелем производных инструментов. 3.3 Имитационное моделирование процесса управления портфелем производных инструментов.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Объектом диссертационного исследования является портфель производных финансовых инструментов Предметом диссертационного исследования является процесс управления портфелем производных финансовых инструментов Целью диссертационного исследования является разработка и исследование математической модели оптимизации портфеля производных финансовых инструментов

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Задачи диссертационного исследования 1. Разработка модели сценариев цены базового актива производных финансовых инструментов с переменным шагом по времени. 2. Уточнение и совершенствование динамической модели управления портфелем фьючерсов и опционов. 3. Разработка программных средств оптимизации портфеля для заданных ЛПР входных параметров модели. 4. Имитационное моделирование процесса управления портфелем производных инструментов. 5. Оценка эффективности управления портфелем на основе разработанной модели.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Степень разработанности проблемы. Теория эффективного инвестиционного портфеля впервые была предложена Г. Марковицем, разработавшим модель его формирования вначале применительно к портфелю акций. Впоследствии его модель была усовершенствована Дж.Тобиным, обосновавшим возможность ее использования для формирования портфелей, состоящих не только из акций, но и включающих безрисковый актив. В работах М. Грубера, М. Падберга и Э. Элтона теория эффективного портфеля была развита: они предложили более простой способ определения инвестиционных характеристик эффективного портфеля, основанный на однофакторной.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Существенный вклад в теорию формирования оптимального портфеля внесли работы Г. Александера, Дж. Линтнера, Ф. Блэка Дж., Моссина, Д. Фрэнсиса, У. Шарпа, которые создали предпосылки для разработки последним теории САРМ. Данная теория доказывает, что эффективное инвестирование заключается в размещении средств в портфель рискованных активов, имеющий рыночное распределение вложений, в комбинации с безрисковым заимствованием или безрисковым кредитованием. САРМ развивает модель Г. Марковица в условиях эффективного рынка, гипотеза о котором была выдвинута Г. Робертсом и М. Кендаллом. Однако теория САРМ была подвергнута критике со стороны С. Росса и Р. Ролла, которые считали, что предположения, на которых строится данная модель, невозможно проверить эмпирически и предлагали метод формирования портфеля, основанный на арбитражных сделках.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Отечественные авторы также рассматривали проблемы формирования оптимального портфеля. Так, Ю.Ф. Касимов, А.В. Крянев, А.С.Шведов занимались проблемами совершенствования математического аппарата управления инвестиционным портфелем. Несмотря на несомненную теоретическую значимость, в работах указанных авторов не исследована эффективность использования данных методов для управления портфелями паев ПИФ и ОФБУ. Вместе с тем, подобные исследования необходимы для развития рынка коллективных инвестиций. Научно обоснованные методы формирования эффективного портфеля позволят в первую очередь повысить эффективность категории фондов, портфели которых преимущественно состоят из паев фондов других УК, что будет способствовать повышению эффективности всей отрасли коллективных инвестиций: более эффективные УК различных категорий будут привлекать в фонды больший объем денежных средств, что приведет к вытеснению неэффективных УК из данной отрасли. Повышение качества управления активами в свою очередь привлечет средства в коллективные фонды новых частных инвесторов, что будет способствовать решению проблемы эффективного использования незадействованных в экономике денежных средств, а также решению глобальной проблемы формирования инновационной экономики. Кроме того, подобные исследования будут полезны для частных инвесторов, которые смогут повысить эффективность управления своими портфелями паев при самостоятельном размещении средств в паи ПИФ и ОФБУ.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Для решения проблемы обеспечения инновационной экономики средствами необходимо исследование эффективности применения различных методов управления портфелями паев ПИФ и ОФБУ, что позволит разработать рекомендации по управлению портфелями паев коллективных фондов. Решение указанной проблемы соискатель осуществляет, двигаясь последовательно - от вопроса отбора наиболее эффективных фондов коллективных инвестиций к разработке методики управления портфелем паев ПИФ и ОФБУ и оценке ее качества.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Теоретическая, методологическая и информационная базы исследования. Теоретическую основу исследования составили научные труды отечественных и зарубежных авторов, посвященные вопросам коллективного инвестирования, методам управления портфелями активов и оценке их эффективности. Методология исследования базируется на таких приемах научного познания как дедукция и индукция, методы аналогии и сравнительного анализа, понятия общего, особенного и единичного. В работе использованы принципы системного подхода, методы моделирования, приемы стресс-анализа. Для обоснования стратегии, направленной на повышение эффективности функционирования коллективных фондов, были использованы методики управления портфелем Г. Марковица, САРМ, а также теория оценок Байеса. В целях оценки эффективности разработанных рекомендаций по управлению портфелем паев ПИФ и ОФБУ использовалось стресс-тестирование. Информационной базой послужили статистические данные по коллективным фондам и другим инвестиционным инструментам. В работе корректно использованы действующие нормативные документы, регулирующие и регламентирующие деятельность фондов коллективного инвестирования. Диссертация выполнена в соответствии с пунктом … Паспорта специальности ВАК …

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Научная новизна диссертации состоит в разработке и обосновании принципов эффективного размещения средств в фонды коллективного инвестирования. На защиту выносятся следующие результаты, полученные лично соискателем, обладающие признаками научной новизны: 1. На основе сравнительного анализа исторической доходности фондов коллективного инвестирования и традиционных инвестиционных инструментов показано, что ПИФ и ОФБУ являются более предпочтительными инструментами для частных инвесторов. Обосновано, что привлекательность ПИФ и ОФБУ как инструментов инвестирования (относительно высокая доходность, низкие требования к объему начальных вложений) наряду со значительным объемом находящихся у населения свободных денежных средств приведет к возрастанию стоимости чистых активов данных фондов по мере преодоления финансового кризиса. Сделан вывод о целесообразности проведения отбора фондов и формирования портфеля паев различных фондов для сокращения риска, поскольку только лучшие из ПИФ и ОФБУ показывают доходность, которая превышает уровень инфляции, доходность традиционных финансовых инструментов и динамику соответствующих фондовых индексов.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ 2. Обобщена на случай ОФБУ методика отбора ПИФ, основанная на совместном использовании показателей длительности работы фондов, стоимости чистых активов, а также расчетных коэффициентов Шарпа, коэффициентов «альфа» и «бета». Произведен отбор российских ПИФ и ОФБУ, наиболее привлекательных с точки зрения размещения ресурсов. Доказано, что эффективность применения методики отбора тем выше, чем более волатильные активы используются фондом. 3. Предложена стратегия управления портфелем паев ПИФ и ОФБУ на основе модели Марковица, предусматривающая ежемесячную оценку параметров модели и перестройку портфеля. Определен оптимальный размер статистической выборки для оценки параметров модели для российского рынка паев фондов коллективного инвестирования. На основе исторического моделирования доказано, что применение данной стратегии позволяет снизить риск вложений инвестора в фонды коллективного инвестирования.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ 4. В целях совершенствования предложенной стратегии разработана методика прогнозирования доходности паев ПИФ и ОФБУ, основанная на применении оценок Байеса. Доказано, что в качестве начального приближения при этом следует использовать вектор ожидаемых доходностей, для которого оптимальным является равномерное распределение вложений. Разработанная методика прогнозирования в нормальных условиях рынка повышает эффективность управления портфелями паев ПИФ и ОФБУ на величину до 0,5% годовых. 5. Разработан метод построения стрессовых сценариев для портфелей паев ПИФ и ОФБУ на основе динамики финансового рынка в периоды исторических кризисов. Отличительной особенностью метода является использование рыночных данных, предшествующих созданию в России ПИФ и ОФБУ. 6. Посредством исторического моделирования доказано, что для полученных стресс-сценариев разработанная стратегия управления портфелем паев обеспечивает более высокую стрессоустойчивость по сравнению с портфелями фиксированной структуры, которые рассматриваются в качестве эталонов.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Теоретическая значимость исследования. Основные положения диссертации создают теоретическую базу дальнейшего исследования вопросов функционирования коллективных фондов, развития системы коллективных инвестиций, управления портфелем паев ПИФ и ОФБУ, а также вопросов их стресс-тестирования. Практическая значимость диссертации. Основные положения, выводы и рекомендации исследования ориентированы на использование частными инвесторами, а также УК фондов, где в качестве активов используются паи ПИФ и ОФБУ, поскольку позволяют им при формировании портфеля паев ПИФ и ОФБУ руководствоваться научнообоснованными методами. Использование обоснованных в работе методов управления портфелями паев ПИФ и ОФБУ приведет к повышению эффективности отрасли коллективных инвестиций посредством оптимизации распределения средств частных инвесторов среди фондов коллективного инвестирования. Более эффективные фонды привлекут больший объем денежных средств, повышая эффективность коллективного инвестирования, что будет способствовать росту доверия к данному инструменту среди частных инвесторов и соответственно притоку новых средств. Это обеспечит решение актуальной проблемы эффективного использования имеющихся внутренних инвестиционных ресурсов в современной российской экономике.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Апробация результатов исследования. Основные положения диссертации докладывались на научно-практических конференциях: Третий ежегодный научный форум «Роль бизнеса в трансформации российского общества – 2008», МФПА, 2008 г.; IV Международный научный конгресс «Роль бизнеса в трансформации российского общества», МФПА, 2009 г.; V Международный научный конгресс «Роль бизнеса в трансформации российского общества», МФПА, 2010 г. Публикации и структура диссертации. По результатам исследования было опубликовано 6 научных работ общим объемом 3,75 п.л. (из них авторских 3,15), в том числе 2 в изданиях, определенных ВАК для публикации результатов научных исследований. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы и приложений. Общий объем работы – 126 листов. Ее логика отражена в содержании.

ЗНАЧЕНИЕ И КОНКРЕТНЫЕ ПРИМЕРЫ ОСНОВНЫХ КАТЕГОРИЙ ДИССЕРТАЦИИ Источники и литература диссертационного исследования: раздел 1 Списка литературы – «Законодательные и подзаконные акты»; раздел 2 Списка литературы – «Научные монографии и статьи»; раздел 3 Списка литературы – «Энциклопедии, статистические сборники и справочные издания»; Раздел 4 Списка литературы – «Ресурсы Интернет».

ФОРВАРДНЫЕ И ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ

ФОРВАРДЫ ПОСТАВОЧНЫЕ И РАСЧЕТНЫЕ Поставочный форвард – это контракт между двумя сторонами о будущей поставке базового актива. В качестве базовых активов могут выступать облигации, валюта, акции, товары. Расчетный форвард предусматривает проведение денежных расчетов, сумма которых зависит от будущих значений некоторой оговоренной переменной величины. В качестве базового актива могут выступать процентные ставки, цены на основные и производные финансовые инструменты, товары и услуги, индексы цен, физические и иные расчетные величины, например, температура воздуха, результаты выборов, спортивных состязаний и т.п.

ПРИМЕР ФОРВАРДНОГО КОНТРАКТА Банки-контрагенты А и Б 30.04.09 заключили расчетный форвардный контракт, в соответствии с которым банк Б выступает как продавец, а банк А - как покупатель форварда. Объем контракта - 1 млн. долларов США, дата поставки - 30.04.10, форвардная цена - 31,75 руб. Если в рассмотренном примере цена доллара 30.04.10 превышает 31рубль 75 копеек, то банк А получает выигрыш по форвардной сделке. Пусть, для примера, доллар стоит на этот момент времени 32,05 руб. Прибыль по сделке составит руб. Эту сумму банк Б выплатит банку А 30.04.10. В случае поставочного форварда банк А покупая 30.04.10 у банка Б 1 млн. долларов, имеет возможность продать валюту на спотовом рынке по цене 32,05руб. Прибыль по сделке теоретически также составит руб. Такую же сумму составляют потери продавца контракта – банка Б.

ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ФИНАНСОВОГО РЕЗУЛЬТАТА ФОРВАРДА

ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ Поставочный фьючерсный контракт – это соглашение между двумя сторонами о будущей поставке базового актива, заключенное на бирже. При заключении контракта известен момент поставки базового актива, его количество и цена поставки. Аналогично расчетному форварду определяется понятие расчетного фьючерсного контракта. Контракты на индексы акций и процентные ставки всегда являются расчетными. Контракты на акции и товарные контракты могут быть как поставочными, так и расчетными. Значение цены поставки, на которую фьючерсный контракт может быть заключен в текущий момент времени, называется фьючерсной ценой

СРАВНЕНИЕ ФОРВАРДНЫХ И ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ

РЫНКИ ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ Chicago Mercantile Exchange www.cme.com Chicago Board of Trade www.cbot.com New York Mercantile Exchange www.nymex.com London International Financial Futures and Options Exchange (LIFFE), Marche a Terme International de France (MATIF), Marche options negociables de Paris (MONEP) www.euronext.com London Metal Exchange www.lme.com Eurex www.eurexchange.com Tokyo Commodity Exchange www.tocom.or.jp Российская торговая систем www.rts.ru

ХАРАКТЕРИСТИКИ ФЬЮЧЕРСНОЙ ТОРГОВЛИ Expiration –месяц истечения контракта Open – первая цена, предложенная покупателем или продавцом, или цена первой сделки High – самая высокая цена на продажу или самая высокая цена, по которой была заключена сделка в течение торгов Low - самая низкая цена на покупку или самая низкая цена, по которой была заключена сделка в течение торгов Settlement price – расчетная цена, зафиксированная при закрытии торговой сессии, используемая для расчетов вариационной маржи Net change – величина, на которую изменилась расчетная цена с момента последних торгов Вариационная маржа – величина прибыли или убытка по фьючерсной позиции за истекший торговый день Начальная маржа – сумма, которая должна быть депонирована на счете клиента для открытия позиции по фьючерсу Поддерживающая маржа, сумма, достаточная для удержания фьючерсной позиции на следующий торговый день после расчетов по вариационной марже Open interest – общее число открытых контрактов Volume – количество контрактов, заключенных в течение торговой сессии

ФЬЮЧЕРСЫ НА ФОНДОВЫЕ ИНДЕКСЫ Фондовый индекс – взвешенная сумма цен некоторого определенного набора акций Фьючерс на фондовый индекс всегда является расчетным CME S&P 500 Futures Trade Unit $250 times the Standard & Poor's 500 Stock Price Index Contract Listing Eight months in the March quarterly cycle. Mar, Jun, Sep, Dec. Ticker=SP Trading Venue: Floor Hours 8:30 a.m.-3:15 p.m. Minimum Fluctuation 0.10=$25.00 Trading Venue: CME® Globex® Hours Mon/Thurs 5:00 p.m.-8:15 a.m. & 3:30 p.m.-4:30 p.m.; Shutdown period from 4:30 p.m. to 5:00 p.m. nightly; Sun & Hol 5:00 p.m.-8:15 a.m. Minimum Fluctuation Regular0.10=$25.00

СПЕЦИФИКАЦИЯ ФЬЮЧЕРСА НА ИНДЕКС РТС Базовый актив: индекс РТС Вид контракта: расчетный Валюта расчетов: рубли Стоимость пункта: $2 по курсу ЦБ Котировки контрактов представляются в виде «индекс РТС*100» Минимальный шаг изменения цены: 5 единиц Месяцами исполнения являются последние месяцы каждого квартала Одновременно осуществляется обращение фьючерсов на три ближайших срока исполнения Последним днем обращения контрактов является последний рабочий день, предшествующий 15 числу месяца исполнения Расчеты по вариационной марже по фьючерсам в ФОРТС проводятся путем перечисления денежных средств по завершении каждого торгового дня со счета проигравшей стороны на счет выигравшего игрока Гарантийное обеспечение (начальная маржа) контракта с погашением в июне 2009г. : 9 654,75 руб.

Очереди заявок на покупку и продажу фьючерса RTS-6.09 в торговой системе «ФОРТС» 28.05.09

Пример расчетов по фьючерсным контрактам на индекс акций

ПРОЦЕНТНЫЕ ФЬЮЧЕРСЫ Поставочные фьючерсы на облигации Расчетные фьючерсы на процентные ставки Поставочные фьючерсы на 30-летние казначейские облигации США Биржа: CBOT Размер контракта: $100000 по номиналу Месяцы исполнения: март, июнь, сентябрь, декабрь Характеристики поставки: Последний день торгов – за 7 рабочих дней до окончания месяца поставки. Поставка может быть осуществлена в любой рабочий день в течение месяца поставки Минимальное изменение цены: 1/32 пункта или $31,25 за контракт

ВАЛЮТНЫЕ ФЬЮЧЕРСЫ Поставочный валютный фьючерс – контракт на покупку одной валюты за другую Расчетный фьючерс – контракт на курс между двумя валютами US DOLLAR / EURO FUTURES:    Codes and classification Mnemo FDE      Unit €   Unit of trading USD 20,000 Expiry months 1) Initial lifetime: 1, 2 and 3 months Cycle: Every month 2) Initial lifetime: 6, 9 and 12 months Cycle: March, June, September and December 3) Initial lifetime: 3 years Cycle: September Quotation In euros per USD 100 (EUR 0.01 represents EUR 200 per contract) Minimum price movement EUR 0.01 Last trading day 13.00 Amsterdam time on the third Friday of the delivery month, provided this is a business day. If it is not, the previous business day will be the last day of trading. Settlement Cash settlement, based on the value of the euro / US dollar rate set by EuroFX at 13.00 Amsterdam time. For FDE, the inverse value of the EuroFX euro/Us dollar rate is used and rounded off to four decimal places. Trading hours 9.00 – 17.30 Amsterdam time Clearing LCH.Clearnet S.A.

ТОВАРНЫЕ ФЬЮЧЕРСЫ Сельскохозяйственные – www.cbot.com, www.euronext.com (кофе, какао, пшеница, кукуруза, сахар, соевые бобы, соевое масло, живой скот, постная свинина) Энергетические – www.nymex.com (сырая нефть, мазут, бензин, газ) Фьючерсы на драгоценные металлы –www.nymex.com (золото, серебро, платина) Фьючерсы на промышленные металлы – www.lme.com, www.nymex.com (алюминий, медь, цинк, свинец, олово, никель, цинк)

ОЦЕНКА И АНАЛИЗ ФЬЮЧЕРСОВ

ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА НА АКЦИИ, ПО КОТОРЫМ НЕ ВЫПЛАЧИВАЮТСЯ ДИВИДЕНДЫ Пусть цена акции составляет 8,8 руб, срок до исполнения контракта 6 месяцев. Безрисковая простая процентная ставка на срок полгода в данный момент времени составляет 15% годовых. Тогда справедливая цена поставки форвардного контракта рассчитывается как Действительно, если инвестору предлагают заключить форвард с ценой поставки меньшей, чем 9,46руб., то он имеет возможность совершить арбитражную операцию и получить безрисковую прибыль. Для этого инвестор покупает форвардный контракт, занимает акцию у брокера и продает ее на рынке, а полученные средства вкладывает в банк под безрисковый процент на срок 6 месяцев. Пусть, например, инвестору удается купить форвард с ценой поставки 9,31руб. При исполнении форварда инвестор покупает акцию по цене 9,31руб. и возвращает ее брокеру. В это же время банк возвращает инвестору Чистая прибыль инвестора составляет 9,46 – 9,31 = 0,15руб. В том случае, когда предлагаемая цена поставки выше справедливой цены, возможна обратная операция: инвестор продает форвардный контракт, занимает на рынке деньги под безрисковый процент и покупает акцию. В рассматриваемом примере если форвард может быть заключен с ценой поставки 9,60 руб., то инвестору целесообразно занять короткую позицию. Занимая 8,8 руб., инвестор покупает акцию. В момент исполнения форварда инвестор продает акцию контрагенту по цене поставки и возвращает кредит. В рассматриваемом примере арбитражная прибыль инвестора составит 9,60 – 9,46 = 0,14 руб. Здесь 9,46 – сумма, которую инвестор возвращает кредитору.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА В общем случае справедливая форвардная цена может быть рассчитана по формуле , (1) где - цена спот акции, - номинальная процентная безрисковая ставка на срок до исполнения форвардного контракта в процентах годовых, - время до исполнения форварда в годах. С использованием ставки непрерывного начисления формула (1) может быть переписана в виде: , (2) где - непрерывная ставка процента для инвестиций на период времени , . Для рассматриваемого примера ,

ПРИМЕР РАСЧЕТА ЦЕНЫ ФОРВАРДА Цена исполнения форвардного контракта на бездивидендную акцию, до исполнения которого остается 4 месяца, составляет $3,14. Текущая цена спот - $3 за акцию. Непрерывная ставка без риска – 2% годовых. Определить цену форвардного контракта. Решение. , т.е. за закрытие форварда его покупателю придется уплатить 16 центов.

ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА НА АКТИВЫ, ПРИНОСЯЩИЕ ДОХОД Инвестор может купить акцию и за время до истечения рассматриваемого форварда получить дивиденды. Кроме того, он будет обладать акцией. Альтернативная возможность заключается в том, чтобы купить сейчас форвардный контракт, а сумму, равную текущей стоимости акции, инвестировать под безрисковый процент. По истечении этого срока инвестор также становится обладателем акции. Оба варианта должны быть эквивалентны с точки зрения прибыли. Если это не так, то на рынке существуют арбитражные возможности. Приведенная стоимость доходных платежей в результате покупки акции составляет , (3) где - множество моментов времени до исполнения форварда, в которые производится выплата дивидендов по акции, - величина дивиденда, который выплачивается в момент времени , - безрисковая ставка непрерывного начисления процентов для инвестирования на период времени , - время до исполнения форварда, - стоимость акции в момент исполнения форвардного контракта.

ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА НА АКТИВЫ, ПРИНОСЯЩИЕ ДОХОД (ПРОДОЛЖЕНИЕ) В том случае, если в начальный момент времени осуществляется инвестиция под безрисковый процент, приведенная стоимость последующих доходных платежей составит , (4) где - стоимость акции в начальный момент времени, которая совпадает с приведенной стоимостью возврата инвестированной суммы в момент исполнения форвардного контракта: . Приравнивая выражения (3) и (4), получим: , откуда . (5) С использованием номинальных процентных ставок формула (5) записывается в виде: (6)

ПРИМЕР АРБИТРАЖА Цена акции спот составляет 14руб. Заключение форварда на акцию сроком на 135 дней может быть осуществлено по цене 14,24руб. Номинальная ставка без риска для 135 дней составляет 5% годовых. по истечении 90 дней по акции будет выплачен дивиденд, размер которого известен и составляет 4руб. Требуется построить схему безрискового арбитража. Решение. В соответствии с формулой (6), справедливая цена форварда составляет Арбитражная схема образуется путем привлечения 14руб. под ставку 0,05% годовых, покупки акции и продажи форвардного контракта. Спустя 90 дней арбитражер получит дивиденд 4руб. и инвестирует его под безрисковый процент. К моменту исполнения форварда это даст руб. Кроме того, осуществив продажу акции в исполнение форвардного контракта инвестор выручает 14,24 руб. В этот же момент арбитражер погашает кредит, уплачивая кредитору Прибыль арбитражера в момент исполнения форварда составит руб. на акцию.

СЛУЧАЙ НЕПРЕРЫВНО НАЧИСЛЯЕМОГО ДИВИДЕНДА Рассмотрим теперь ситуацию, при которой дивиденд задается процентной ставкой. Проведем вывод соотношений для справедливой форвардной цены, используя ставку непрерывного начисления процентов. При этом получаемые дивиденды вновь инвестируются в акции. Сопоставим следующие две возможности: а) Сумма, равная текущей цене акции, инвестируется под безрисковый процент на срок форвардного контракта. б) Осуществляется покупка акции и одновременная продажа форвардного контракта на акций. В схеме «а» к моменту исполнения рассматриваемого форвардного контракта инвестор будет иметь сумму, равную, где - безрисковая ставка непрерывного начисления процентов для инвестирования на период. В случае «б» количество акций к моменту исполнения форварда составит, где - ставка дивиденда. Выполняя форвардный контракт, инвестор получает сумму, равную. Начальные инвестиции в схемах «а» и» «б» составляют. Следовательно, должны совпадать и результаты – в противном случае существует возможность совершения арбитражной операции. Мы получаем следующее уравнение для справедливой форвардной цены: (7)

ДРУГИЕ ВИДЫ БАЗОВЫХ АКТИВОВ Пусть - непрерывная процентная ставка безрисковых инвестиций в национальной валюте, а - аналогичная ставка для иностранной валюты. Единица иностранной валюты в данный момент времени стоит единиц национальной валюты. Все товары можно разделить на инвестиционные и потребительские. Инвестиционные товары характеризуются тем, что на рынке существуют игроки, готовые вкладывать в эти товары деньги с целью получения дохода от роста цены, а также проводить с этими товарами операции арбитража. При этом не исключается, что такие товары могут быть использованы и для непосредственного потребления. К числу инвестиционных товаров относятся, например, драгоценные металлы. Что касается товаров потребительской группы, то такие товары используются только для потребления. Обозначим величину издержек хранения и страхования товара на период времени . В случае инвестиционного товара фьючерсная цена определяется как , где - ставка без риска. Издержки хранения и страхования могут быть представлены при помощи процентной ставки, которую будем обозначать . Тогда фьючерсная цена инвестиционного товара .

ПРИМЕР С ТОВАРНЫМ ФОРВАРДОМ Цена спот серебра на 10.02.04 составляет $6,777 за тройскую унцию. Котировка форварда на 10.09.04 - $6,83 за унцию. Определить стоимость хранения унции серебра в течение года, если непрерывная безрисковая ставка составляет 1,25%. Решение. Вначале рассчитаем процентную ставку, выражающую стоимость хранения металла, используя соотношение (10). Решая это соотношение относительно ставки , получим: Для того, чтобы найти стоимость хранения в течение года, приравняем правые части соотношений (9) и (10): Выразим из полученного соотношения : . Подставив в последнее соотношение значения и , окончательно получим, что стоимость хранения тройской унции серебра в течение одного года составляет доллара.

ФЬЮЧЕРСЫ НА ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ Базовый актив – процентная ставка или облигация

ФОРВАРДНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ

ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМИ КОНТРАКТАМИ Некоторое предприятие планирует осуществить закупку оборудования за рубежом спустя полгода от текущего момента времени. Стоимость оборудования $200тыс. В настоящий момент курс доллара составляет 30,5руб. Если за шесть месяцев курс значительно вырастет, то покупка оборудования может не состояться из-за недостаточности средств. Предположим, что текущая котировка фьючерсного контракта на бирже сроком шесть месяцев составляет 30,85 руб. Предприятие осуществляет покупку фьючерсов на сумму 200 тыс. долларов США. Если в момент исполнения контрактов стоимость доллара спот превысит 30,85 , то предприятие окажется в выигрыше, осуществляя покупку валюты по курсу ниже рыночного. В противном случае доллар будет приобретаться по курсу выше рыночного, и предприятие несет относительные убытки. Преимущество заключения хеджирующей сделки состоит в том, что покупка необходимого оборудования будет осуществлена при любой динамике валютного курса в течение последующих шести месяцев.

КОЭФФИЦИЕНТ ХЕДЖИРОВАНИЯ МИНИМАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИИ

ПРИМЕР ХЕДЖИРОВАНИЯ Требуется осуществить хеджирование стоимости пакета из 100000 акций ОАО «Аэрофлот» на один день вперед. В качестве инструмента хеджирования используются фьючерсные контракты на индекс РТС с истечением в июне 2008 года. Стоимость пункта индекса для фьючерсов составляет $2. Статистика котировок фьючерса и акций ОАО «Аэрофлот» приведена в табл.1. Необходимо определить оптимальное количество фьючерсных контрактов.

ПРИМЕР ХЕДЖИРОВАНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Соответствующие значения приращений цены акций и фьючерсной цены приводятся в табл. 2. Для расчета статистических оценок воспользуемся возможностями электронной таблицы Excel. Коэффициент корреляции приращений рассчитывается при помощи соответствующей команды надстройки «Анализ данных». Полученное значение составляет 0,83. Расчет стандартных отклонений временных рядов, содержащихся в табл. 2, осуществляется функцией «СТАНДОТКЛОН». Для приращений фьючерса соответствующая оценка составляет 32,92; для приращений стоимости акции: 0,0612. Дисперсия стоимости портфеля, состоящего из акций и фьючерсов, будет минимальной, если будет заключено 77 коротких фьючерсных контрактов:

ОПЦИОНЫ Поставочный опцион – это контракт или ценная бумага, которые дают право (но не обязанность) купить или продать актив, лежащий в основе контракта, в течение определенного периода времени по фиксированной цене, которая называется ценой исполнения (strike). В качестве базового актива могут выступать основные финансовые инструменты (акции, облигации, индексы акций) или реальные товары, например, нефть, кофе, металлы, пшеница, а также фьючерсные контракты на перечисленные виды активов. Расчетный опцион – это контракт или ценная бумага, расчеты по которым зависят от будущих значений некоторых заданных переменных величин. Контракты на индексы акций и процентные ставки всегда являются расчетными. Контракты на акции, фьючерсы и товарные контракты могут быть как поставочными, так и расчетными. Чаще всего в момент заключения контракта покупатель опциона выплачивает продавцу (которого называют также подписчиком опциона) некоторую премию. Премию называют также ценой опциона. Опцион на покупку (опцион колл) предоставляет его владельцу право купить, а опцион на продажу (опцион пут) – право продать актив. Опцион американского типа может быть исполнен в любой день до момента истечения контракта, опцион европейского типа – только в момент истечения. Существуют опционы фьючерсного типа (future style options), по которым выплата премии при заключении не уплачивается. Ежедневно по таким контрактам производится начисление вариационной маржи аналогично тому, как происходит для фьючерсных контрактов. При исполнении опциона колл на фьючерс происходит заключение фьючерсного контракта; покупатель опциона становится покупателем фьючерсного контракта. Если исполняется опцион пут на фьючерс, то в результате покупатель опциона становится продавцом фьючерсного контракта. В обоих случаях фьючерсный контракт заключается по цене, равной цене исполнения опциона.

ВЫИГРЫШИ И ПРОИГРЫШИ ПОКУПАТЕЛЯ И ПРОДАВЦА ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ

ПРИМЕР ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ Contract Contract Size Min. Price Change Contract Months Deutsche Bank 100 Eur 0.01 60 Settlement Physical delivery of 100 equities of the underlying Contract Settlement Day Standard t+3 Contract Months Up to 60 months: The three nearest successive calendar months, the three following quarterly months of the March, June, September and December cycle thereafter, and the four following semi-annual months of the June and December cycle thereafter, and the two following annual months of the December cycle thereafter. Last Trading Day Last Trading Day is the third Friday, for Italian equity options the day before the third Friday, of each expiration month, if this is an exchange trading day; otherwise, the exchange trading day immediately preceding that day. Close of trading in the expiring option series on the Last Trading Day is at 17:30 CET, for Swiss equity options at 17:20 CET and for Spanish equity options 17:35 CET. If for German equity options a dividend resolution is passed on the Last Trading Day, the exchange trading day preceding that day is deemed as the Last Trading Day. Daily Settlement Price The last traded price of the trading day; or, if the last traded price is older than 15 minutes or does not reasonably reflect the prevailing market conditions, Eurex will establish the official settlement price. Exercise American-style; an option can be exercised up to the end of the Post-Trading Full Period (20:00 CET) on any exchange trading day during the lifetime of the option.

ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКС FTSE 100 FTSE 100 INDEX OPTION (EUROPEAN-STYLE)  Codes and classification Mnemo ESX    Exercise type European Unit £   Unit of trading Contract valued at £10 per index point (eg value £65,000 at 6500.0). Delivery months Nearest eight of March, June, September, December plus such additional months that the nearest four calendar months are always available for trading. Quotation Index points (e.g. 6500.0). Minimum price movement 0.5 (£5.00) Exercise day Exercise by 18:00 on the Last Trading Day only. Last trading day Third Friday in delivery month. Settlement day Settlement day is the first business day after the Last Trading Day. Trading hours 08:02 - 16:30

СИНТЕТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ

ОПЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ

ОПЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

БАТТЕРФЛЯЙ СПРЭД

КАЛЕНДАРНЫЙ СПРЭД Образуется путем заключения одноименных опционов различного срока, но одинакового страйка. Например, может быть продан пут со сроком 1 год и куплен пут со сроком полгода. График прибыли календарного спрэда: Диагональный спрэд – календарный спрэд с различными страйками опционов

STRIP&STRAP

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРЕМИЙ ОПЦИОНОВ Премия американского и европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, не может быть больше текущей цены акции: . (1) Действительно, если это соотношение не выполняется, то существует возможность осуществления арбитража: достаточно продать опцион и приобрести акцию, чтобы получить безрисковую прибыль. Если опцион будет предъявлен к исполнению, то акцию придется продать. В результате будет получена прибыль без риска , где - премия опциона, - цена акция в момент заключения опциона, - цена исполнения. Если опцион не исполняется, то выигрыш к моменту окончания срока действия контракта составит , где - цена акции в момент истечения опциона.

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРЕМИЙ ОПЦИОНОВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2. Верхние границы премии американского и европейского опционов пут различаются. Для европейского опциона пут можно утверждать, что , (2) где - премия опциона, - процентная ставка инвестиций без риска, - время до исполнения опциона. Если последнее соотношение не выполняется, то инвестор может продать опцион и разместить премию под ставку без риска. В случае, если опцион не будет исполнен, его безрисковая прибыль составит . При исполнении опциона инвестор, не сделав начальных вложений и ничем не рискуя, имеет по завершении операции акцию и денежную сумму, равную . Поскольку американский опцион пут может быть исполнен до окончания срока контракта, можно утверждать только, что . (3) В противном случае инвестор продает опцион и обеспечивает себе безрисковую прибыль независимо от того, будет ли опцион предъявлен к исполнению и в какой именно момент времени.

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРЕМИЙ ОПЦИОНОВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Нижняя граница премии европейского или американского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, составляет: . (4)

ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛСА Принятые допущения: а) допускается короткая продажа базового актива; б) отсутствуют транзакционные издержки при совершении операций с банковским счетом и базовым активом опциона; в) базовый актив и банковский счет безгранично делимы; г) базовый актив не приносит дополнительного дохода (например, рассматривается акция без дивидендов); д) на рынке отсутствуют арбитражные возможности; е) операции на рынке осуществляются непрерывно; ж) безрисковая процентная ставка и волатильность цены базового актива постоянны на всем периоде действия опционного контракта.

Пример 1 Текущая стоимость акции $1,595. Волатильность акции составляет 0,45. Исполнение опциона назначено на 15.09.03, цена исполнения – $1,5 . Доходность государственной бескупонной облигации соответствующего срока составляет 4% годовых по ставке сложных процентов. Рассчитать премию европейского опциона колл в день 01.07.03 при помощи формулы Блэка-Шоулса.

ДРУГИЕ ВИДЫ БАЗОВЫХ АКТИВОВ Опционы на фьючерсы:

МОДЕЛЬ КОКСА-РОССА-РУБИНШТЕЙНА

МОДЕЛЬ КОКСА-РОССА-РУБИНШТЕЙНА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ПРИМЕР 2 Требуется оценить премию европейского опциона колл из примера слайда 12 в день 01.07.03 при помощи биномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна, содержащей 6 этапов. Решение. Несложно подсчитать, что в этом случае период времени между этапами составляет 2 недели. Тогда , . Для того, чтобы найти ставку непрерывного начисления процентов, соответствующую заданной ставке сложных процентов 0,04 , составим следующее уравнение: . Отсюда и , соответственно, .

ПРИМЕР 2 (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ПРИМЕР 3 Рассчитать цену американского опциона пут на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Непрерывно начисляемая ставка без риска равна 0,125 . Стандартное отклонение цены акции за год составляет 0,41 . Расчет производится 16.12.03, текущая цена акции составляет 8,01руб. Опцион истекает 16.06.04, цена исполнения опциона - 8,6руб. Для расчета использовать биномиальную модель, содержащую 4 этапа. Решение. Один период биномиальной модели соответствует двум месяцам. Волатильность акции, соответствующая 2-месячному периоду, составляет В случае роста цена акции увеличивается в раза, а в случае падения - умножается на . Вероятность роста цены акции составляет , вероятность снижения цены

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПРЕМИИ ОПЦИОНА К ИЗМЕНЕНИЮ ЦЕНЫ БАЗОВОГО АКТИВА Дельта европейского опциона колл:

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ДЕЛЬТА К ИЗМЕНЕНИЮ ЦЕНЫ БАЗОВОГО АКТИВА Гамма опциона колл: Гамма опциона пут:

ПОКАЗАТЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ СТОИМОСТИ ОПЦИОНА С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ Тета опциона колл: (22) Тета опциона пут:

ПОКАЗАТЕЛЬ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К ИЗМЕНЕНИЮ ВОЛАТИЛЬНОСТИ Вега опционов колл и пут: (24)

ПОКАЗАТЕЛЬ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПРЕМИИ К ИЗМЕНЕНИЮ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ Ро европейского опциона колл: (25) Ро европейского опциона пут:

ПРИМЕР 4 Волатильность акции составляет 0,45. Исполнение опциона колл назначено на 15.09.03, цена исполнения – $1,5 . Доходность государственной бескупонной облигации соответствующего срока составляет 3,9% годовых по непрерывной ставке. Оценить изменение цены опциона при снижении стоимости актива на $0,03 в день 01.07.03 при помощи показателя дельта и путем непосредственного вычисления по формуле Блэка-Шоулса. Расчет по формуле (19) дает значение дельта рассматриваемого опциона 0,67. Оценка снижения цены опциона в результате снижения цены базового актива на $0,03 составляет доллара. Формула (7) при снижении цены актива до дает значение цены опциона $0,167 . Таким образом, действительное понижение цены опциона составляет 0,1867 – 0,167 = 0,0197 .

ВОЛАТИЛЬНОСТЬ , (27) где , - среднее значение .

ЗАДАЧА №97, 2010 For non-divident paying stocks, according to put-call parity the payoff on long stock position can be synthetically created with: A long call, a short put and a long position in a risk-free discount bond A short call, a short put and a long position in a risk-free discount bond A long call, a long put and a long position in a risk-free discount bond A long call, a short put and a short position in a risk-free discount bond

ЗАДАЧА 92, 2010 A company has a USD 33 million portfolio benchmarked to the S&P 500 index with a beta of 1.2. The price for a 3-month futures contract on the S&P 500 index is 1100. Futures contracts are on USD 250 times the value of the index. Which of the following trades reduces the beta of the portfolio to 0.9? Long 108 futures contracts Short 144 futures contracts Short 108 futures contracts Short 36 futures contracts

ЗАДАЧА 86, 2010 An investor sells a January 2010 call option on XYZ stock with a strike price of USD 50 for USD 10 and buys a January 2010 call option on XYZ stock with a strike price 0f USD 60 for USD 2. What is the name of this strategy and what are the maximum profit and loss the investor could incur at expiration of these options? Strategy Maximum Profit Maximum Loss Bear spread USD 8 USD 2 Bull spread USD 8 Unlimited Bear spread Unlimited USD 2 Bull spread USD 8 USD 2

ЗАДАЧА 70, 2010 You are analyzing a two-year interest rate swap with a notional principal of USD 25 million. The swap has a fixed rate of 6.15% per year and a floating rate of LIBOR+60 basis points per year. Assuming semi-annual payments and a 360-day count conversion, what is the net settlement for the first period, assuming LIBOR is at 5.15% per year at the beginning of the period and 5.45% per year at the end of the period? Fixed rate payer pays USD 50,000. Fixed rate payer receives USD 50,000. Fixed rate payer pays USD 50,000. Fixed rate payer receives USD 50,000.

ЗАДАЧА 41, 2010 All else held constant and assuming no change in the value of the underlying, what impact should an increase in interest rate have on the price of stock index futures? Futures price should increase Futures price should decrease Futures price should not change Futures price should converge to the spot price

ЗАДАЧА 33, 2010 Consider an American call option and an American put option, each with 4 months to maturity, written on an underlying stock currently priced at USD 40. The strike price for both options is USD 35 and the risk-free rate is 4,5% per year (continuously-compounded). What is the lower and upper bounds on the difference between the prices of the call and put options? Lower Bound (USD) Upper Bound (USD) 5.52 40.00 5.00 5.52 34.48 40.00 0.21 34.48

ВОПРОСЫ МОДУЛЬНОГО КУРСА ДЛЯ ЭКЗАМЕНА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ Фьючерсные и форвардные контракты. Биржевые расчеты по фьючерсным контрактам. Деривативные биржи мира. Расчет форвардной цены на различные активы. Кросс-хеджирование фьючерсными контрактами. Опционные стратегии. Границы премий опционных контрактов. Формулы Блэка-Шоулса. Модель Кокса-Росса-Рубинштейна. Показатели чувствительности цены опциона.