Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса А МБОУ СОШ №40 г.Смоленска Научный руководитель: Мурасё презентация

Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса А МБОУ СОШ №40 г.Смоленска Научный руководитель: Мурасёва Ж.В.

Цель: Цель: научиться решать сложные и простые задачи на проценты, так как они входят в ЕГЭ. Задачи: вспомнить основные соотношения и выражения для решения простейших задач; научиться решать задачи на растворы и смеси, переливания, на сложные проценты(цена, банк, рост населения и т.д.), задачи о вкладах и займах; подготовиться к ЕГЭ.

В простейших задачах на проценты некоторые величина а принимается за 100%, а ее часть b выражается p%. В простейших задачах на проценты некоторые величина а принимается за 100%, а ее часть b выражается p%.

Основные соотношения и выражения при решении задач на проценты. Основные соотношения и выражения при решении задач на проценты. 1.Предложение «Число a увеличили на p %» представляется выражением a(1+0,01p). 2. Предложение «Число a увеличили сначала на p%, а потом еще на q%» представляется выражением a(1+0,01p)(1+0,01q). 3. Предложение «Число a уменьшили на p%» представляется выражением a(1-0,01p). 4.Предложение «Число a увеличили на p%, а потом уменьшили на q% » представляется выражением a(1+0,01p)(1-0,01q).

Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь. Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь. Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь.

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%. Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

Впервые учащиеся средней школы встречаются с понятием процента в 5 классе. Там рассматриваются простейшие задачи на нахождение процента от числа и нахождение числа по его проценту. Впервые учащиеся средней школы встречаются с понятием процента в 5 классе. Там рассматриваются простейшие задачи на нахождение процента от числа и нахождение числа по его проценту. В 6 классе отрабатывается умение находить процент от числа на простейших задачах типа « Сколько квадратных метров составляют 1% гектара, 35% ара и т.д .

В теме «Нахождение числа по его дроби» рассматриваются задачи «35% от 128,1 составляют 49% неизвестного числа. Найдите это число» (№660) и «Овощная база в первый день отпустила 40% всего имевшегося картофеля, а во второй день – 60% остатка, а в третий день – остальные 72 т. Сколько тонн картофеля было на базе?» (№662) или «В школе учатся 360 девочек. Сколько учащихся в школе, если мальчики составляют 52% всех учащихся?» (№1527). В теме «Нахождение числа по его дроби» рассматриваются задачи «35% от 128,1 составляют 49% неизвестного числа. Найдите это число» (№660) и «Овощная база в первый день отпустила 40% всего имевшегося картофеля, а во второй день – 60% остатка, а в третий день – остальные 72 т. Сколько тонн картофеля было на базе?» (№662) или «В школе учатся 360 девочек. Сколько учащихся в школе, если мальчики составляют 52% всех учащихся?» (№1527).

В 7 классе (учебник «Алгебра 7» под редакцией С.А.Теляковского) нам предложены такие задачи на проценты как:   №18. За несколько книг уплатили 320 р. Стоимость одной из книг составила 30%, другой 45% израсходованных денег. На сколько рублей первая книга дешевле второй?  №19. Площадь участка поля 80 га. Первый тракторист вспахал 40% этого участка, а второй 60% оставшейся части. Кто из них вспахал больше и на сколько гектаров?

№20. На поле собрали с каждого гектара 44 ц пшеницы. Применение интенсивной технологии позволило увеличить производство пшеницы на той же площади на 25 %. Сколько центнеров пшеницы с гектара стали собирать на поле? №20. На поле собрали с каждого гектара 44 ц пшеницы. Применение интенсивной технологии позволило увеличить производство пшеницы на той же площади на 25 %. Сколько центнеров пшеницы с гектара стали собирать на поле?  №45. После того как из бидона отлили 30% молока, в нем осталось 14л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально? Решение: пусть первоначально в бидоне было 100%-х л После того как из него отлили 30 % молока: 70%-14л Отсюда, 0,7х=14, х=20, 20 литров молока было первоначально в бидоне. Ответ:20 л.

В 8 классе всего пять задач на проценты! Одна из них на смеси (№630), три - на сплавы и одна задача на работу: В 8 классе всего пять задач на проценты! Одна из них на смеси (№630), три - на сплавы и одна задача на работу: №630. В водный раствор соли добавили 100г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нем содержалось 30 г соли. №631. Сплав золота и серебра содержал 40г золота. После того как к нему добавили 50г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

    №718. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава? №722. Два слесаря получали заказ. Сначала 1 ч. Работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму? Хотя эту задачу нужно всё таки на совместную работу, проценты здесь упоминаются вскользь.

Рассмотрим задачи, которые используются в 9 классе. №340 (учебник «Алгебра 9» под редакцией С.А.Теляковского) Два сосуда были наполнены растворами соли, причем в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором - 29%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?  №477. К раствору. Содержащему 50г соли, добавили 150 г воды. После этого его концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

И в конце ученика еще три задачи на проценты: И в конце ученика еще три задачи на проценты: №968. На опытном поле под рожь отвели участок 20 га, а под пшеницу – 30 га. В прошлом году с обоих участков собрали 2300 ц зерна. В этом году урожайность ржи повысилась на 20%, а пшеницы – на 30% и поэтому собрали зерна на 610 ц больше, чем в прошлом году. Какова урожайность каждой культуры в этом году?  Решение: Пусть х ц/га урожайность ржи, а пшеницы – у ц/га в прошлом году, тогда в прошлом году собрали 20х ц ржи и 30 у ц пшеницы. Так как всего в прошлом году собрали 2300 ц, то составим уравнение : 20х + 30У = 2300. В этом году урожайность ржи составила 1,2х ц/га и пшеницы – 1,3у ц/га, причем всего ржи собрали 1.2х*20 =24х ц, а пшениц – 1.3у *30 =39у ц.Так как в этом году собрали на 610 ц больше, то составим уравнение: 24х + 39у =2300 + 610.Составив и решив систему двух уравнений получим у=50, х =40, тогда 1.2х=48, и 1.3у = 65. Ответ:48ц, 65 ц.  

№970. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит 67% меди, а второй – 87% меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий 79% меди?  №970. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит 67% меди, а второй – 87% меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий 79% меди?  Решение: пусть масса первого сплава – х, а второго – у, а содержание меди в них соответственно 0,67х и 0,87у, тогда масса полученного сплава х + у, а меди в нем – 0,79(х + у). Так как масса меди не изменилась, то 0,67х + 0,87у = 0,79(х + у). Преобразовав уравнение получим 0,08у = 0,12х, отсюда получим, что х:у =0,08 : 0,12 т.е. х : у = 2 :3. Ответ: 2:3.  №971. Смешали два раствора соли. Концентрация первого составляла 40%, а концентрация второго – 48%. В результате получился раствор соли концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? Рассуждая аналогично задачи 970 получим, что растворы нужно взять в отношении 3 : 1.

РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ   АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ   Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу

10. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем все серебра составляет 14 % веса меди. Сколько серебра в данном сплаве? 10. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем все серебра составляет 14 % веса меди. Сколько серебра в данном сплаве? Решение:  Пусть х кг меди в сплаве, тогда серебра в нем х*14 /100=х/7(кг). Т.к. масса сплава 2 кг, то составим уравнение и решим его: х+х/7=2 7х+х=14 8х=14 Х=1,75кг х/7=1,75/7=0,25кг Ответ:0,25кг.

При решении задач можно пользоваться соотношениями: При решении задач можно пользоваться соотношениями: 1.Приняв от клиента сумму под а % годовых, банк должен выплатить клиенту через 1 год сумму S0(1+а*0,01) 2.Получив в банке кредит на сумму под а % годовых, клиент должен выплатить банку через 1 год сумму S0(1+а*0,01)

3.Вкладчик положил в банк 100 000руб. из расчета 21% годовых. Через полгода он снял деньги. Сколько денег было выдано вкладчику? 3.Вкладчик положил в банк 100 000руб. из расчета 21% годовых. Через полгода он снял деньги. Сколько денег было выдано вкладчику? Решение: Sn=100000*(1+0,21)0,5=100000*1,1=110000(руб.) Ответ:110000рублей.

    4.Цех в целом увеличил за год выпуск продукции на 34%, причем 20% рабочих цеха увеличили выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха? Решение: Пусть S-объем продукции, которую выполняют все рабочие по плану и 1,34S объем продукции, которую они выполняли в действительности. Тогда 0,2S- объем продукции, которую должны были выпустить 20% рабочих и 0,8S-остальные.0,2S(1+50*0.01) - объем продукции, которую выпустили 20% рабочих в действительности. Пусть на х % увеличили выпуск продукции 80% рабочих, тогда 0,8S(1+х*0,01)-объем продукции, который они выпустили. Т.к. всего выпустили 1,34S, то: 0,2S(1+0,5)+0,8S(1+х*0,01)=1,34S 0,3S+0,8S(1+х*0,01)=1,34S S(0,3+0,8+0,008х) =1,34S 1,1+0,008х=1,34 0,008х=0,24 х=30На 30% увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха. Ответ:30%.

5.Первый банк дает 60% годовых, а второй- 40%. Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а остальные - во второй. Через 2 года суммарное число вложенных денег удвоилось. Какую долю своих денег положил вкладчик в первый банк? 5.Первый банк дает 60% годовых, а второй- 40%. Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а остальные - во второй. Через 2 года суммарное число вложенных денег удвоилось. Какую долю своих денег положил вкладчик в первый банк? Решение: Пусть х рублей вкладчик положил в первый банк и у рублей - во второй., тогда через 2 года у него будет: х(1+0,6)2+у(1+0,4)2=2(х+у) 1,62х+1,42у=2х+2у 2,56х+1,96у=2х+2у 0,56х=0,04у х/у=0,04/0,56 х/у=1/14, т.е. х составляет одну часть, а у-14 частей. Всего денег 15 частей, значит, х составляет 1/15часть. Ответ:1/15.

1.Даны 3 числа. Сумма 2 чисел и утроенного третьего равна 95. Третье число на 25% меньше первого, а второе на 50% больше первого. Найдите третье число. 1.Даны 3 числа. Сумма 2 чисел и утроенного третьего равна 95. Третье число на 25% меньше первого, а второе на 50% больше первого. Найдите третье число. Решение: Пусть х- третье число, тогда первое число 100х/75=4/3х, а второе 4/3х*1,5=2х 4/3х+2х+3х=95 19/3х=95 х=15 15-третье число. Ответ:15.

2.Сумма двух чисел равна 96, а 25% их разности равны меньшему числу. Найдите число, которое на 35% больше большего из этих чисел. 2.Сумма двух чисел равна 96, а 25% их разности равны меньшему числу. Найдите число, которое на 35% больше большего из этих чисел. Решение: Пусть х - первое число(меньшее), а (96-х) второе. Тогда: 0,25(96-х-х)=х 96-2х=4х 6х=96 х=16 96-16=80 1,35*80=108 108-искомое число. Ответ:108.

3.Цена товара после 2-х последовательных снижений со 125 до 80 рублей. 3.Цена товара после 2-х последовательных снижений со 125 до 80 рублей. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз? Решение: Sn=S0(1 а*0,01)n 80=125(1-а*0,01)2 (1-а*0,01)2=0,64 1-а*0,01=0,8 а*0,01=0,2 а=20 На 20% цена товара снижалась каждый раз. Ответ:20%.

4.Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44%, затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В результате окончательная цена товара оказалась на 19 % меньше первоначальной. На сколько процентов производилось 2-кратное снижение цены? 4.Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44%, затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В результате окончательная цена товара оказалась на 19 % меньше первоначальной. На сколько процентов производилось 2-кратное снижение цены? Решение: Пусть S0- начальная цена, тогда конечная цена товара S0(100%-19%)/100= 0,81 S0 и на а % дважды понижалась цена, тогда по формуле повышения/понижения процентов имеем: S0(1+44*0,01)(1-а*0,01)2=0,81 S0 1,44 S0(1-а*0,01)2=0,81 S0 (1-а*0,01)2=81/144 (1-а*0,01)=9/12 а*0,01=3/12 а*0,01=0,25 а=25% На 25 % производилось 2-кратное понижение цены. Ответ: 25%.

5.После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена одной упаковки лекарства снизилась с 300 р. до 192р. На сколько процентов снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз? 5.После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена одной упаковки лекарства снизилась с 300 р. до 192р. На сколько процентов снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз? Решение: 192=300(1-а*0,01)2 (1-а*0,01)2=192/300 (1-а*0,01)2=0,64 (1-а*0,01)=0,8 а*0,01=0,2 а=20% На 20% снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз. Ответ:20%

6.Население города за два года увеличилось со 20000 до 22050 человек. 6.Население города за два года увеличилось со 20000 до 22050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения города. Решение: 20000(1+а*0,01)2=22050 (1+а*0,01)2=441/400 (1+а*0,01)=21/20 а*0,01=0,05 а=5%-средний ежегодный процент роста населения города. Ответ:5%.

1.Найдите трехзначное число, все цифры которого различны (или сумму таких трехзначных чисел, если их несколько), которое при перестановке третьей цифры в начало числа увеличивается на 187,5 процента. (Из сборника заданий для подготовки к ЕГЭ). 1.Найдите трехзначное число, все цифры которого различны (или сумму таких трехзначных чисел, если их несколько), которое при перестановке третьей цифры в начало числа увеличивается на 187,5 процента. (Из сборника заданий для подготовки к ЕГЭ). Решение: Пусть первая цифра числа х, вторая цифра у, а третья цифра z. Т.к. мы используем десятичную позиционную систему счисления, то заданное число равно 100х+10у+z. Если переставить третью цифру в начало числа, то новое число запишется в виде 100z+10х+у. Увеличение положительного числа на р % равносильно умножению его на коэффициент k1=1+р/100 , а уменьшение - k2=1-р/100 В нашем случае k1=1+187,5/100=23/8 (100х+10у+z)*23/8=100z+10х+у 2220х+222у-777z=0 222у=777z-2220х у=3,5z-10х Если z=4,х=1, у=4 Если z=6, х=2, у=1 z=8, х=2, у=8 144,216,288. 216-искомое число. Ответ:216.

    2.Найдите все двузначные числа , равные удвоенной сумме своих цифр. Решение: Пусть х- число десятков, а у- число единиц, тогда искомое число 10х+у, по условию 10х+у=2(х+у) 10х+у=2х+2у 8х=у Число единиц в 8 раз больше числа десятков, следовательно, это число 18. Других вариантов нет, т.к. 2*10+16 не подходит. Ответ:18.

Заключение Выбранная мною тема является актуальной для выпускников школ. В процессе выполнения работы я научилась решать задачи на проценты различных видов, что помогает мне готовиться к ЕГЭ.

Список литературы. Список литературы. 1.ЕГЭ-2007.Математика. Тренировочные задания / Т.А. Корешкова, Н.В.Шевелева, В.В.Мирошин- Москва.: Просвещение ; Эксмо,2007.-80с. 2.Единственные реальные варианты заданий для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ-2007. Математика./А.Г.Клово.-М.: Федеральный центр тестирования,2007.-94с. 3.Научно-методический журнал «Математика в школе».Главный редактор А.И.Верченко. Июль/август 1998, №4 4.Демонстрационные варианты единого государственного экзамена 2007,2008 и 2009 года. 5.Задачник для учебных общеобразовательных учреждений/Л.И.Зваавич, А.Р.Рязановский,2009.