Анализ временных рядов. Модели и прогнозирование презентация

Анализ временных рядов Модели и прогнозирование

Исходные статистические данные Если процесс регистрации данных происходит для n объектов по p признакам и по времени t j=1, 2, …, p; i=1, 2, …, n; k=1,2, …, N, то говорят о панельных данных. Если рассматривать значения одного признака у одного объекта в равноотстоящие моменты времени, то последовательностьназывают одномерным временным рядом. Если регистрировать значения p признаков у одного объекта, то говорят о статистическом анализе многомерного временного ряда, k=1,2, …, N

Исходные статистические данные Говоря о проблеме прогнозирования на основе одномерных временных рядов, обычно имеется ввиду кратко- и среднесрочный прогноз, поскольку построение долгосрочного прогноза подразумевает обязательное использование методов организации и статистического анализа специальных экспертных оценок. Использование доступных к моменту t=N наблюдений временного ряда x(t) для прогнозирования может явиться основой для: планирования в экономике, производстве, торговле управления и оптимизации социально-экономических процессов принятия оптимальных решений в бизнесе частичного управления параметрами демографических процессов

Основные факторы временных рядов Долговременные, формирующие общую тенденцию в изменении анализируемого признака x(t). Обычно описывается при помощи монотонной функции f(t), называемой трендом. Сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака. Описывается периодической функцией (t) с периодом, кратным сезонам. Циклические, формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные действием долговременных циклов экономической, демографической или астрономической природы. Описывается функцией ��(t). Случайные, не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие обуславливает стохастическую природу анализируемого признака. Обозначается (t)

Общие модели временных рядов Аддитивная форма (1) Мультипликативная форма

Примеры временных рядов

Примеры временных рядов

Примеры временных рядов

Задачи анализа временных рядов По имеющейся траектории анализируемого временного ряда требуется: какие из неслучайных составляющих f(t), (t) и ��(t) присутствуют в разложении (1) Построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении (1) Подобрать модель, адекватно описывающую поведение «случайной составляющей (t), и статистически оценить параметры этой модели

Тестирование наличия/отсутствия неслучайной составляющей Если неслучайные составляющие отсутствуют, то ряд состоит из статистически независимых наблюдений, случайно варьирующихся около некоторого постоянного уровня а, т.е. Иначе, существует зависимость от времени неслучайной составляющей анализируемого временного ряда

Критерий серий, основанный на медиане Из элементов временного ряда образуем «серии» плюсов и минусов по правилу Члены временного ряда, равные медиане   не учитываются Под «серией» подразумевается последовательность подряд идущих плюсов или минусов (в частности, серия может состоять из одного элемента) Вычисляют:  – общее число серий;  – протяженность самой длинной серии. Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий Этот критерий «улавливает» постепенное смещение среднего значения в исследуемом распределении не только монотонного, но и более общего, например периодического, характера. Если два и несколько идущих друг за другом наблюдений равны между собой, то принимается во внимание только одно из них. Критерий основан на том же соображении, что и предыдущий: если выборка случайна, то в образованной последовательности знаков общее число серий не должно быть слишком малым, а их протяженность – слишком большой. Если хотя бы одно из неравенств , , , не выполняется, то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки

Критерий аббе Критерий применяется, если выборка подчиняется нормальному закону распределения. Если окажется, что то гипотеза отвергается, где – α-квантиль нормированного нормального распределения

Методы сглаживания временного ряда Аналитические методы основаны на допущении, что известен общий вид неслучайной составляющей разложения (1). Тогда задача выделения неслучайной составляющей (задача элиминирования случайных остатков, задача сглаживания временного ряда) сводится к задаче построения «хороших» оценок параметров модели. Т.е. будет представлена в виде формулы функции известного вида, в которой неизвестные параметры заменены их статическими оценками. Алгоритмические методы не имеют допущения о том, что аналитический вид известен. «На выходе» задачи приводится алгоритм расчета оценки в любой наперед заданной точке t.

Аналитические методы оценки неслучайной составляющей Реализуются в рамках моделей регрессии, в которых в роли зависимой переменной выступает , генерирующая анализируемый временной ряд, а единственной объясняющей переменной является время t. Рассматривается модель =1,2,…,N в которой общий вид функции известен, но неизвестны параметры . Если ошибки взаимно некоррелированны, то оценки параметров могут быть получены с помощью МНК: В случае коррелированности ошибок необходимо применять ОМНК. В некоторых случаях необходима техника статистического анализа нелинейных моделей регрессии.

Аналитические методы оценки неслучайной составляющей На практике различают четыре основных типа экономического роста: I – постоянный рост (с постоянным или близким к нему абсолютным цепным приростом); II – увеличивающийся рост (с увеличивающимся абсолютным цепным приростом); III – уменьшающийся рост (с уменьшающимся абсолютным цепным приростом); IV – рост с качественными изменениями динамических характеристик на протяжении исследуемого периода.

Аналитические методы оценки неслучайной составляющей Для каждого типа роста наиболее часто в практике экономических исследований встречаются следующие виды функций трендов. I тип роста Линейная функция: f(t)= 0 + 1 t. Линейно-гиперболическая функция: f(t)=  +  t +  / t, где  >0;  >0. Линейно-логарифмическая функция 2-го порядка: f(t)= 0 + 1ln(t) + 2ln2(t), где 1 >0; 2 >0.

Аналитические методы оценки неслучайной составляющей II тип роста Показательная функция: f(t)= (1+)t, где  > 0;  > 0. Парабола 2-го порядка: f(t)= 0 + 1t + 2t2, где 1>0; 2>0. Парабола 3-го порядка: f(t)= 0 + 1 t + 2 t2 + 3 t3, где 1>0; 2>0; 3>0.

Аналитические методы оценки неслучайной составляющей III тип роста Степенная функция: f(t)=  t , где >0; 0<<1. Линейно-логарифмическая функция: f(t)= 0 + 1ln(t), где 1>0. Парабола 2-го порядка: f(t)= 0 + 1t + 2 t 2, где 1>0; 2>0. Гипербола 1-го порядка: f(t)= 0 + 1/t, где 1<0. Гипербола 2-го порядка: f(t)= 0 + 1/t + 2/ t2 , где 1<0; 2<0. Модифицированная экспонента: f(t)= + e-t, где  <0.

Аналитические методы оценки неслучайной составляющей IV тип роста Линейно-логарифмическая ф-ция 2-го порядка: f(t)= 0 + 1ln(t) + 2ln2(t), где 1>0; 2>0. Парабола 3-го (и более высоких) порядков: f(t)= 0 + 1t + 2 t2 + 3 t3, где 1>0; 2>0; 3>0 Логистическая функция: , где >0; >0; >0 Первая функция Торнквиста: , где  >0;  >0. Кривая Гомперца: f(t)=  t, где  >0;  >0;  >0.

Конец лекции