Численное интегрирование и его погрешности. Методы прямоугольников и трапеций. Метод Симпсона. Правило Рунге. (Лекция 5) презентация

Лекция 5 Постановка задачи численного интегрирования Методы прямоугольников Метод трапеций Метод Симпсона Погрешности численного интегрирования. Правило Рунге

Определенный интеграл Из курса математического анализа известно, что, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема, то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Методы интегрирования

Приближенное вычисление площади криволинейной трапеции Для приближенного вычисления этой площади отрезок [a;b] разбивается на n частей, внутри которых подинтегральная функция f(x) заменяется с некоторой степенью точности более простыми функциями gi(x), которые могут быть проинтегрированы аналитически. Тогда

Замена подинтегральной функции интерполяционными полиномами

Методы численного интегрирования Для получения простых формул используют полиномы нулевой, первой и второй степени и, соответственно, получают следующие методы и формулы численного интегрирования: методы прямоугольников; метод трапеций; метод Симпсона. Очевидно, что во всех случаях замена функции f(x) интерполирующим полиномом приводит к образованию погрешности вычисления значения интеграла. Увеличение числа отрезков разбиения n (уменьшение длины шага интегрирования h) ведет к уменьшению погрешности.

Методы прямоугольников В методах прямоугольников подинтегральная функция f(x) заменяется в пределах каждого элементарного отрезка [xi;xi+1] интерполяционным полиномом нулевой степени, то есть постоянной величиной. При этом значение элементарного интеграла равно площади прямоугольника, а интеграл на отрезке [a;b] – сумме этих площадей. Если в качестве значения подинтегральной функции берется ее значение в левом конце отрезка, то получается формула левых прямоугольников. При использовании значения подинтегральной функции в правом конце отрезка получается формула правых прямоугольников. При одном и том же числе отрезков разбиения n большую точность дает метод средних прямоугольников, в котором используется значение подинтегральной функции в середине отрезка. Поскольку объем вычислений во всех трех случаях одинаков, то более предпочтительым оказывается метод средних прямоугольников, который часто называют просто методом прямоугольников.

Схема алгоритма метода прямоугольников

Метод трапеций В методе трапеций подинтегральная функция f(x) на каждом элементарном отрезке [xi;xi+1] заменяется интерполяционным полиномом первой степени. При этом значение элементарного интеграла равно площади прямоугольной трапеции с высотой h и основаниями f(xi) и f(xi+1), а интеграл на отрезке [a;b] – сумме этих площадей.

Метод трапеций

Вывод формулы трапеций

Схема алгоритма метода трапеций

Метод Симпсона

Метод Симпсона

Вывод формулы Симпсона

Вывод формулы Симпсона

Схема алгоритма метода Симпсона

Погрешности численного интегрирования Замена подинтегральной функции интерполяционным полиномом приводит к погрешности вычисления определенного интеграла R = |S – S*|, где S* – точное значение интеграла. Имеются следующие оценки этой погрешности для рассмотренных нами методов и случаев аналитического или табличного задания подинтегральной функции:

Оценки погрешности численного интегрирования

Сравнение погрешностей методов Из приведенных формул видно, что уменьшение шага интегрирования h приводит к уменьшению погрешности. Метод Симпсона при шаге h дает примерно ту же точность, что и методы прямоугольников и трапеций при шаге h/2, а при одинаковой точности метод Симпсона требует примерно вдвое меньше вычислений.

Метод двойного просчета (правило Рунге)

Схема алгоритма метода двойного просчета