Численный анализ нелинейных моделей и теория Куна-Таккера (Лекция 5) презентация

Моделирование систем Лекция 5: Численный анализ нелинейных моделей и теория Куна-Таккера.

содержание Текущий контроль Методы наискорейшего спуска (спуск по градиенту) Элементы теории Куна-Таккера

Текущий контроль 1 Выбрать оптимальную архитектуру обсерватории, корпус которой является цилиндрическим, а раздвижная крыша может быть полусферической или конической. Объем обсерватории равен V, минимизируется расход материала на ее стены, основание и крышу. Для высоты и радиуса цилиндра и конуса определены нижние границы.

Текущий контроль 2 Решить методом множителей лагранжа i-порядковый номер студента.

Постановка задачи

СПУСК ПО ГРАДИЕНТУ – ИДЕЯ МЕТОДА Суть метода – в движении от одной точки к другой в направлении экстремума:

Алгоритм спуска по градиенту – первые два шага (всего 10 шагов) Шаг 1. Вычисляется значение функции f в стартовой точке. Шаг 2. Для каждой переменной вычисляется новое значение по формуле:

Алгоритм спуска по градиенту – следующие четыре шага Шаг 3. Вычисляется новое значение целевой функции f₁. Шаг 4. Если f₁ «лучше» чем f, то перейти к следующему шагу, нет – к шагу 8. Шаг 5. Если ограничения системы (1) выполняются, то перейти к следующему шагу, в противном случае – к шагу 8. Шаг 6. Переменной f присваивается значение, равное f₁.

Последние четыре шага алгоритма Шаг 7. Старые значения переменных заменяются на новые, полученные на шаге 2 последней итерации. Перейти к шагу 2. Шаг 8. Величине шага β присваивается новое значение, которое вдвое меньше хранящегося в памяти: β = β/2. Шаг 9. Если новое значение β больше заданной точности поиска Ɛ, то перейти к шагу 2, в противном случае – к шагу 10. Шаг 10. Конец алгоритма

ПРИМЕР 1 Пользуясь спуском по градиенту решить задачу: Точка старта: х=у=3; f=0,66, начальная величина шага β=1, конечная величина шага γ=0,25.

РЕШЕНИЕ

Решение – вторая итерация 2)

Решение – третья итерация

РЕШЕНИЕ – ЧЕТВЕРТАЯ ИТЕРАЦИЯ

Решение – пятая итерация

Решение – шестая итерация

самостоятельно Пользуясь приведенным выше алгоритмом решить задачу (2): Решить задачи (1) и (2), пользуясь методом множителей Лагранжа и сравнить результаты. Сформулировать достоинства и недостатки спуска по градиенту.

Определение выпуклых функций Функция f называют выпуклой на интервале [a,b] если для любой точки отрезка, соединяющего точки f(a) и f(b), справедливо: все точки этого отрезка расположены над кривой, отображающей f(x) на этом интервале:

Определение вогнутых функций Функция f называют вогнутой на интервале [a,b] если для любой точки отрезка, соединяющего точки f(a) и f(b), справедливо: все точки этого отрезка расположены под кривой, отображающей f(x) на этом интервале: f

Определения глобального и локального оптимума Функция называется локально оптимальной в точке «х» , если все значения в Ɛ- окрестности этой точки «хуже», чем в точке х. Функция достигает в точке х глобального оптимума, если для любого допустимого вектора y≠x значение функции «хуже», чем в «х».  

Элементы теории Куна-таккера

самостоятельно Определить являлись ли решения задач (1) и (2), полученные выше спуском по градиенту, глобально оптимальными. Проверить, являлись ли решения тех же задач, полученные методом множителей Лагранжа, глобально оптимальными.

Поиск по градиенту с изменяемой целевой функцией. 1. Определена задача:     2. Осуществляется спуск в лучшем направлении по градиенту функции f до тех пор, пока справедливы ограничения. Если оптимальное значение при этом найдено внутри допустимой области, то алгоритм закончен, переход к шагу 6, в противном случае – к следующему шагу. 

Шаги 3 – 6 алгоритма

САМОСТОЯТЕЛЬНО Дать формальное описание градиентного поиска с изменяемой целевой функцией и построить блок-схему. Пользуясь этим методом, решить задачу: Реализовать метод программно. Оценить достоинства и недостатки метода.