Презентация, доклад Числовые множества


Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Числовые множества. Презентация на заданную тему содержит 20 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Презентации» Математика» Числовые множества
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
 1.   N, Z, Q, I, R, RR,ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
  R  +, – = 
  
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА
 Для любого числа x  R неотрицательное число
 называется абсолютнойГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ
 		Определение. Множество А называется ограниченным сверху (снизу), еслиЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
 		Определение. Числовой последовательностью {xn} называется упорядоченное счетное множество чиселАРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
 	Пусть даны две последовательности {xn} и {yn}.
 	Произведением последовательностиЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
 Определение. Последовательность называется 
  ограниченной сверху, если ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
 		Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если дляГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
 		
 		Геометрическая интерпретация того, что    Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 
 	 Определение. Последовательность {xn}ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
 		Определение. Говорят, что при n, последовательность {xn} сходится кОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Б.М.П. 
 	1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностейОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Б.Б.П.
 Если xn - ограничена, а yn такая, чтоСВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
 Теорема 1. (о единственности предела). Если последо-вательность имеетСВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
 Теорема 5. Произведение двух сходящихся последо-вательностей {xn} иСВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
 Теорема 7. Пусть {xn} сходящаяся последовательность и МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
 Числовая последовательность называется {xn} называется
  возрастающей, если МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
 Теорема 9. (Вейерштрасса)
 	Всякая возрастающая числовая последовательность {xn} имеетКРИТЕРИЙ КОШИ
 Теорема 10 (Критерий Коши).
 	Для того чтобы последовательность {xn}Спасибо за внимание



Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА 1. N, Z, Q, I, R, RR, C. 2. Подмножества вещественных чисел: Пусть . Отрезок, сегмент: ; Интервал: ; Полуинтервал: , ; Замкнутый луч: , ; Открытый луч: , . Определение. Пусть a  R,  > 0. Интервал (a – , a + ) будем называть -окрестностью точки a . Обозначение: U(a,)= (a – , a+)= {x  R | |x – a|<}.


Слайд 2
Описание слайда:
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА R  +, – = Пусть  > 0. Тогда U(+,) = (1/; +)  + = x : x > 1/ ; U(–,) = (–; –1/)  – = x : x < – 1/ ; U(,) = (–; –1/)  (1/; +) = x : |x|> 1/ .

Слайд 3
Описание слайда:
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА Для любого числа x  R неотрицательное число называется абсолютной величиной или модулем числа x ( ). |x| ≥ 0. |x| = |– x|. – |x| ≤ x ≤ |x|. Пусть   R,  > 0. Тогда неравенства |x| ≤  и –  ≤ x ≤  – равносильны. |x + y| ≤ |x| + |y|. |x – y| ≥ |x| – |y|. |x  y| = |x|  |y| и , если y  0.

Слайд 4
Описание слайда:
ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ Определение. Множество А называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое действительное число М (число m), что каждый элемент x  A удовлетворяет неравенству x  M (x  m). При этом число М (число m) называют верхней (нижней) гранью множества А. Определение. Множество, ограниченное сверху и снизу называется ограниченным. Определение. Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью. Обозначение: М=sup A или . Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью. Обозначение: m=inf A или . Теорема (Больцано). Любое ограниченное сверху (снизу), непустое числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Слайд 5
Описание слайда:
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение. Числовой последовательностью {xn} называется упорядоченное счетное множество чисел {x1,x2,x3,x4,...}. Определение. Числовой последовательностью {xn} называют отображение, действующее из N в R т.е. xn = f (n). Числа {xn}, где n=1,2,3,… – элементы (члены) последовательности, символ xn – общий член последовательности, а число n – его номер.

Слайд 6
Описание слайда:
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ Пусть даны две последовательности {xn} и {yn}. Произведением последовательности {xn} на число c называется последовательность вида: . Суммой последовательности {xn} и {yn} называется последова-тельность вида: {xn} + {yn} = {x1 + y1; x2 + y2; …; xn + yn; …} Разностью – последовательность вида: {xn} – {yn} = {x1 – y1; x2 – y2; x3 – y3; …; xn – yn; …}. Произведением – последовательность вида: {xn}  {yn} = {x1  y1; x2  y2; x3  y3; …; xn  yn; …}. Частным – последовательность вида .

Слайд 7
Описание слайда:
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение. Последовательность называется  ограниченной сверху, если ;  ограниченной снизу, если ;  ограниченной, если ;  неограниченной, если ;  возрастающей, если ;  неубывающей, если ;  убывающей, если ; невозрастающей, если .

Слайд 8
Описание слайда:
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа  существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | xn  a| <  . Обозначение.

Слайд 9
Описание слайда:
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ Геометрическая интерпретация того, что состоит в следующем: «Какого бы ни было положительное число , все элементы последовательности, начиная с некоторого номера N+1, находятся внутри -окрестности точки а».

Слайд 10
Описание слайда:
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Определение. Последовательность {xn} называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого положительного числа  существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |x n | <  . Определение. Последовательность {xn} называется бесконечно большой последовательностью (б.б.п.), если для любого положительного числа A существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |x n | > A. Теорема. Если {xn} – б.м.п. и все ее члены отличны от нуля, то {1/xn} – б.б.п., и обратно, если {xn}  б.б.п., тогда {1/xn} – есть б.м.п.

Слайд 11
Описание слайда:
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение. Говорят, что при n, последовательность {xn} сходится к пределу, равному + если Обозначение. Пример.

Слайд 12
Описание слайда:
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Б.М.П. 1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность. Следствие. Сумма и разность любого конечного числа б.м.п. есть также б.м.п. 2. Произведение двух б.м.п. есть б.м.п. Следствие. Произведение любого конечного числа б.м.п. есть также б.м.п. 3. Произведение б.м.п. на ограниченную последовательность есть б.м.п. Следствие. Произведение б.м.п. на число есть б.м.п. 4. Б.м.п. ограничена.

Слайд 13
Описание слайда:
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Б.Б.П. Если xn - ограничена, а yn такая, что , то а) ; б) ; в) , если yn  0 для любого n. Если , , то а) ; б) . Если , , то а) ; б) . Если , a  R, a  0, , то Если , a  0, , то

Слайд 14
Описание слайда:
СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Теорема 1. (о единственности предела). Если последо-вательность имеет предел, то он единственный. Теорема 2. Для того, чтобы последовательность {xn} была сходящейся , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде x n = a + n , где , а  , а {n} б.м.п. Теорема 3. Сходящаяся последовательность ограничена. Теорема 4. Сумма (разность) двух сходящихся последо-вательностей {xn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей .

Слайд 15
Описание слайда:
СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Теорема 5. Произведение двух сходящихся последо-вательностей {xn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей . Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при условии, что для всех n выполняется неравенство yn  0 и предел {yn} отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}

Слайд 16
Описание слайда:
СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Теорема 7. Пусть {xn} сходящаяся последовательность и . Тогда . Следствие. Если {xn} и {yn} сходящиеся последовательности и , то . Теорема 8. Пусть {xn}, {yn} и {zn} – последовательности, и 1.  {xn} и {zn} и сходящиеся последовательности; 2. ; 3.   . Тогда {yn} также сходящаяся последовательность и .

Слайд 17
Описание слайда:
МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Числовая последовательность называется {xn} называется  возрастающей, если ;  строго возрастающей, если ;  убывающей, если ; строго убывающей, если . Убывающие и возрастающие последовательности называются монотонными, а строго убывающие и строго возрастающие последовательности называются строго монотонными.

Слайд 18
Описание слайда:
МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Теорема 9. (Вейерштрасса) Всякая возрастающая числовая последовательность {xn} имеет предел: конечный, если она ограниченна сверху, и бесконечный, если она неограниченна сверху, причем Аналогично, если {xn} – убывающая последовательность, то существует (конечный или бесконечный) предел и, следовательно, этот предел конечен, если последовательность ограниченна снизу, и бесконечный, если она неограниченна снизу.

Слайд 19
Описание слайда:
КРИТЕРИЙ КОШИ Теорема 10 (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность {xn} сходилась к конечному пределу, необходимо и достаточно, чтобы . Последовательность, удовлетворяющая этому условию называется «фундаментальной последовательностью» или последовательностью, «сходящейся в себе».

Слайд 20
Описание слайда:
Спасибо за внимание


Скачать презентацию на тему Числовые множества можно ниже:

Похожие презентации