Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2.10) презентация

Лекция 2-10. 12.2.4 Дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной имеет вид Общее решение дифференциального уравнения имеет вид Частные решения дифференциального уравнения определяются из начальных условий

Теорема о существовании и единственности решения. Если функция и ее производные непрерывны в окрестности значений то дифференциальное уравнение в достаточно малом интервале имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям

12.3. Линейные дифференциальные уравнения. 12.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Определение. Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка называется дифференциальное уравнение 1-й степени относительно неизвестной функции и ее производных (*) Функция называется правой частью дифференциального уравнения. Если то уравнение называется однородным. В противном случае - уравнение называется неоднородным.

Если непрерывны, то существует единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям. Дифференциальное уравнение можно привести к виду (*), разделив на Там, где - особые точки.

12.3.2. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка без правой части. (**) Считаем, что непрерывны на Тривиальное решение Теорема 1. Если - решения дифференциального уравнения (**), то их линейная комбинация также является решением уравнения (**) для любых Доказательство: Подставим в уравнение

Теорема 2. Если - решения дифференциального уравнения (**) и то общее решение дифференциального уравнения. Доказательство: Покажем, что можно подобрать так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям. Подставим начальные условия в выражения для и Определитель системы

Покажем, что определитель Если это так, то система имеет решение Предположим обратное. Определитель равен нулю. Тогда система при нулевых начальных условиях помимо нулевого, имеет бесконечное множество ненулевых решений. Пусть одно из них. Тогда Следовательно что противоречит условию.

12.3.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью. (***) Теорема. Общее решение дифференциального уравнения (***) есть сумма общего решения однородного уравнения (**) и частного решения неоднородного уравнения (***). Доказательство: Пусть - общее решение одно-родного уравнения, - частное решение неоднород-ного уравнения. Рассмотрим их сумму Тогда Следовательно

12.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Ищем решение в виде где - действительное или комплексное число. Подставим в дифференциальное уравнение Получили характеристическое уравнение Рассмотрим 3 варианта решения этого уравнения.

1) действительные числа. Получили два решения дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения - произвольные постоянные.

Пример.

действительное число. Покажем, что Подставим в уравнение По теореме Виета т.е. Следовательно

Пример.

3) Если дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение то каждая из функций и является решением уравнения. По формуле Эйлера Тогда

Пример. Для любых начальных условий существует единственное решение.