Дифференциальные уравнения высших порядков. (Лекция 2.9) презентация

Лекция 2-9. 12.2. Дифференциальные уравнения высших порядков. 12.2.1 Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Определение. Уравнения вида называются дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно второй производной имеет вид Пример. Последовательно интегрируя, получим

Лемма. Дифференциальное уравнение 2-го порядка обычно имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой содержащей две произвольные постоянные. Это множество решений называется общим решением. Частные решения дифференциального уравнения определяются из начальных условий

Пример. Геометрический смысл начальных условий: Помимо точки задаем угловой коэффициент касательной.

Теорема о существовании и единственности решения. Если функция и ее производные непрерывны в окрестности значений то дифференциальное уравнение в достаточно малом интервале имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям Без доказательства.

Из теоремы следует, что уравнение при заданных начальных условиях имеет единственное решение. Если задать начальные условия при то теорема о существовании дать ответ не может, т.к. при правая часть имеет особенность. Для дифференциального уравнения 2-го порядка часто задают граничные условия (краевые условия) (сопромат (изгиб балки), математическая физика и т.д.). В этом случае может быть одно решение, может решение не существовать и может быть бесконечное множество решений. Это коренное отличие задания граничных условий от задания начальных условий.

Пример.

12.2.2. Частные случаи дифференциальных уравнений 2-го порядка. 1) Правая часть не содержит и

2) Правая часть не содержит Замена Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Пример.

3) Правая часть не содержит Замена Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Пример. При сокращении на было потеряно решение т.е.

12.2.3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. 1) Уравнения вида …………………………………

Пример.

2) Уравнения вида Подстановка понижает порядок уравнения на :

3) Уравнения вида Подстановка понижает порядок уравнения на 1: и т. д.

4) Уравнения вида однородные относительно Подстановка понижает порядок уравнения на 1: и т.д.

Пример.