Электрические цепи при гармоническом воздействии в установившемся режиме презентация

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ Гармоническое колебание и способы его описания

Генерирование синусоидальной э.д.с. В современной технике используются переменные токи с частотой от долей герца до миллиардов герц. В наших промышленных энергосистемах применяется частота f=50 Гц. В зависимости от частоты источниками синусоидальной э.д.с. являются генераторы того или иного типа: Вращающиеся электрические машины генерируют э.д.с. промышленной частоты (50Гц); Ионные или полупроводниковые инверторы - промышленные и повышенные частоты. Рассмотрим принцип действия генератора – электромагнитной машины. В обмотке (витке), по закону Фарадея (правило правой руки), наводится э.д.с.,: , где В – магнитная индукция поля, Вб; l – длина провода; v – линейная скорость перемещения проводника.

Величины гармонического сигнала Кроме амплитуд о величине периодических сигналов судят по их среднеквадратичным (действующим) значениям за период, I, U, E – Например, действующее значение периодического тока равно такому значению постоянного тока, который, проходя через сопротивление r, за период Т выделяет то же количество тепла, что и данный переменный ток i. Связь между амплитудным и действующим значениями синусоидального тока равна (1.3) Иногда гармонические сигналы характеризуют средним значением. Среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю, поэтому за среднее значением гармонического тока принимают среднее значение за положительный полупериод: (1.4).

Разность фаз колебаний. Разность фаз колебаний. При совместном рассмотрении двух гармонических сигналов одной частоты разность их начальных фаз, называют сдвигом фаз и обозначают φ, Если φ=0,то напряжение и ток совпадают по фазе, если - в противофазе, если - в квадратуре. Если φ>0, то i(t) отстает от U(t) по фазе на угол φ, если φ<0, то i(t) опережает U(t) по фазе на угол φ.

Примеры

3. Представление гармонического сигнала комплексной амплитудой Комплексной амплитудой синусоидального тока i(t) = Im sin(ωt + ψ) называют комплексное число Ím = Imejφ, где Im - амплитуда тока или модуль, а угол φ - начальная фаза или аргумент комплексного тока. При известной частоте ω между Ím  и i(t) = Im sin(ωt + ψ) существует взаимнооднозначное соответствие i(t) = Im sin(ωt +  φ )↔ Ím = Imejφ, т.е. зная одно можно записать другое. Комплексную амплитуду можно записать в алгебраической, показательной и тригонометрической форме Ím = Imejφ = Re[Ím ]+jIm[Ím ]= Imejφ = Imcos φ + jImsin φ, где – мнимая единица; 1. Re[Ím ] = Imcos φ и Im[Ím ] =Imsin φ - реальная и мнимая части комплексного числа; 2. Im=(( Re[Ím]2 +(Im[Ím]2)1/2 и φ=arctg Im/Re - модуль и аргумент комплексной амплитуды. Во многих случаях пользуются понятием комплексного действующего значения синусоидальной величины Í = Iеj φ , (1.2) т.е. комплексного числа с модулем в виде действующего значения Í =Ím/ синусоидальной величины и аргументом в виде начальной фазы. Использование комплексной формы представления позволяет: 1. заменить операции над функциями времени на операциями над комплексными числами, 2. применять для анализу цепей переменного тока все методы анализа цепей постоянного тока.

4. Векторное представление гармонического сигнала Комплексную амплитуду Ím = Imejφ можно представить на комплексной плоскости вектором с длиной Im и углом поворота ψ относительно вещественной оси Re или вектором проекции которого на Re и Im оси равны: Re[Ím ] = Imcos φ и Im[Ím ] =Imsin φ - реальная и мнимая части комплексного числа; Совокупность векторов, отображающих комплексные амплитуды синусоидальных величин (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

Операции над комплексными числами 1. При сложении и вычитании комплексных чисел удобно пользоваться алгебраической формой записи:   2. При умножении, делении, возведении в степень удобно пользоваться показательной формой   Если комплексное число , то - называется комплексносопряженным числом.

1.3. Комплексное сопротивление элемента (участка цепи) Под комплексным сопротивлением элемента понимают отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде входного тока: R – активное (резистивное) сопротивление, Х– реактивное сопротивление, Z =(R2+X2)1/2 –модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление φ=ψu-ψi=arctg(X/R) – аргумент или начальная фаза комплексного сопротивления

1.4. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме Они имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин: комплексных амплитуд и комплексных сопротивлений. 1. Закон Ома. Он устанавливает связь между комплексными амплитудами тока и напряжения на участке цепи. 1.8. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС где и - комплексные амплитуды тока и напряжения на участке цепи; Z – комплексное сопротивление участка цепи, –комплексные амплитуды потенциалов на данном участке цепи. 2. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных амплитуд (действующих значений) токов в узле равна нулю 3. Второй закон Кирхгофа: В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных амплитуд (действующих значений, ЭДС) равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в нём. .

Эквивалентные преобразования в цепях переменного тока Все правила эквивалентных преобразований имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только все резистивные сопротивления заменены на комплексные сопротивления элементов.

1.5 Мощность в цепях синусоидального тока. Для характеристики мощности в цепи синусоидального тока используются следующие понятия : 1.Мгновенная мощность, характеризует скорость изменения энергии в цепи в момент времени t p(t)=u(t)i(t)=UmSin (ωt+ψu) ImSin(ωt+ψ i)= UICos(ψu- ψi)- UICos(2ωt+ψu+ψi). Мгновенная мощность содержит постоянную составляющую и переменную составляющую c частотой 2 ω, 2. Активная мощность –средняя мощность за период «Т» : Р=UICosφ → [Вт]. Она характеризует энергию, рассеиваемую за период питающего напряжения в виде тепла в резистивных элементах цепи. Активная мощность всегда положительна и равна постоянной составляющей мгновенной мощности. 3. Реактивноая мощность Q, вычисляется по формуле: Q = UISinφ → [ВАР]. Эта мощность не совершает полезной работы, а характеризует интенсивность обмена энергией между генератором и реактивными элементами цепи L и С, что приводит к дополнит. потерям энергии.. Поэтому она должна быть по возможности минимальной. Реактивная мощность может быть: положительной, если φ >0 в цепи с индуктивной нагрузкой и отрицательной, если φ<0. в цепи с емкостной нагрузкой 4. Полная или кажущаяся мощность S =Um.Im/2= UI →[ВА]. Между полной, активной и реактивной мощностью существует связь Графически ее можно представить в виде «треугольника мощностей» (рис.1.6). Коэффициент к=Р/S=cosφ называется «коэффициентом мощности» (К→1).

Условия согласования источника сигнала с нагрузкой Рассмотрим передачу сигнала от источника сигнала в нагрузку. Источник Е с Zi = Ri + jXi, и нагоузка Zн = Rн + jXн. Обычно рассматривают два условия (режима) согласования: на нагрузке создается максимальное напряжения и кпд цепи (кпд = Uн/U1=1)- согласование по напряжению; 2) на нагрузке выделяется максимальная мощность –согласования по мощности. Установим условие согласования по напряжению: Запишем выражение для выходного напряжения Из него следует, что Uн → max, когда |Zн| >> |Zi|. Такой режим согласования используют в энергетических установках. Кпд=1 Установим условие согласования по мощности: Мощность выделяется на резистивной составляющей Rн сопротивления нагрузки Zн Амплитуду тока Im найдем модуль комплексной амплитуды Активная мощность, выделяемая в нагрузке Найдем условия, когда . Во-первых, потребуем Хн = –Хi. Во-вторых, найдем максимум по второй переменной (по Rн) Возьмем производную и приравняем ее к нулю. Получим Rн = Ri. Условие согласования по мощности

Элементы в цепи переменного тока

1.7. Анализ цепи при последовательном соединение RLC-элементов. Для схемы рис. 1.9. уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде: (1.7) Пусть ,тогда: (1.8) Вектор тока и векторная диаграмма напряжений приведены на рис. 1.10. Векторы напряжений на активном и реактивном элементах ортогональны, а векторы напряжений на L и C смещены на +-900. В комплексной форме уравнение (1.8) примет вид: (1.9) Здесь: Z=R+j(XL-XC)=Zejφ - комплексное сопротивление, - модуль комплексного сопротивления; - фаза комплексного сопротивления; X=(XL-XC) – реактивное сопротивление. На комплексной плоскости сопротивления R, jXL, -jXC, Z - образуют треугольник сопротивления, рис. 1.11. Если сопротивления умножить на , получим диаграмму напряжений, рис. 2.12 – треугольник напряжений.

Цепь синусоидального тока с идеальным резистором Рассмотрим электрические процессы, возникающие в цепи, состоящей из идеального резистора. В резисторе происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Параметром, характеризующим это свойство резистора, является сопротивление R. Пусть напряжение на резисторе изменяется по закону u = Um·sinω·t, где начальная фаза для простоты принята равной нулю, ψu = 0. Ток в цепи определяется по закону Ома: В этом выражении начальная фаза тока равна нулю (ψi = 0), т. е. На резисторе ток и напряжение совпадают по фазе, φ = 0. Амплитудные (как и действующие) значения связаны законом Ома Мгновенная мощность, потребляемая резистором: Мгновенная мощность является положительной, рис.3.4, б. Это означает, что вся энергия, поступающая от источника, потребляется активной нагрузкой с сопротивлением R. На практике пользуются средним значением мощности за период, которое называют активной мощностью Активная мощность выражается в Вт. Учитывая, что U = R·I, получаем P = R·I2. Запишем электрические величины в комплексной форме. Напряжение и ток (действующие значения) Комплексное сопротивление цепи: Активное сопротивление R является положительным действительным числом (мнимая часть комплексного сопротивления Z равна нулю).

3.3. Цепь синусоидального тока с идеальной индуктивностью Катушка индуктивности при протекании по ней тока обладает способностью создавать магнитное поле. Это свойство характеризуется параметром катушки, называемым индуктивностью L =ψ/I.

1.2. Расчет цепей при гармоническом воздействии методом векторных диаграмм Определим, как связаны между собой ток i и напряжение u в электрической цепи, схема замещения которой представлена на рис. 10. Для схемы рис. 1.9. уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде:

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем: 1) Исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой: а) все пассивные элементы заменяют их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = Xm cos(0t – x)  Xm = Xm e–jx и Ym cos(0t – y)  Ym = Ym e–jy. . Рис. 1.3. Замена пассивных элементов цепей их комплексными сопротивлениями 2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Ym = Ym e–jy. методами анализа линейных цепей по постоянному току 3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е. Ym = Ym e–jy  y(t) = Ym cos(0t – y). 4) определить комплексную частотную характеристику по формуле (1). На рис.1.4 приведены схемы замещения реактивных элементов, когда частота входного сигнала стремится к 0 или ∞. Ими удобно пользоваться при расчете входных и передаточных параметров цепи на этих частотах.

Дисциплина: Электротехника и электроника Лектор: Погодин Дмитрий Вадимович Кандидат технических наук, доцент кафедры РИИТ (кафедра Радиоэлектроники и информационно-измерительной техники)