Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики презентация

Учебный модуль 3 ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ. Тема 3.2. Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики

Основные комбинаторные конфигурации. Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются: Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества. Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n. Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел. Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Примеры комбинаторных задач: Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам, чтобы выполнялись заданные ограничения? Сколько существует функций F из m-элементного множества в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям? Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт? Ответ: 52! (52 факториал), то есть, 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8,0658 × 1067. При игре в кости бросаются две кости, и выпавшие очки складываются; сколько существует комбинаций, в которых сумма очков на верхних гранях равна двенадцати? Решение: Каждый возможный исход соответствует функции F:{1,2} →{1,2,3,4,5,6}. (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом, существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, при которой сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.

Распределение данных по частотам Частотное распределение — метод статистического описания данных (измеренных значений, характерных значений). Математически распределение частот является функцией, которая в первую очередь определяет для каждого показателя идеальное значение, так как эта величина обычно уже измерена. Такое распределение можно представить в виде таблицы или графика, моделируя функциональные уравнения. В описательной статистике частота распределения имеет ряд математических функций, которые используются для выравнивания и анализа частотного распределения (например, нормальное распределение, распределение Гаусса).

Распределение данных по частотам Пример распределения частот (абсолютное): прогноз возрастного распределения в Германии в 2050 году.

Центральные тенденции, среднее значение, мода, медиана. Генеральные и выборочные совокупности, объём совокупности, основные виды выборок. В статистике исследуют различные совокупности данных — числовых значений случайных величин с учётом частот, с которыми они встречаются в совокупности. При этом совокупность всех данных называют генеральной совокупностью, а любую выбранную из неё часть — выборкой. В статистических исследованиях выборку называют репрезентативной, если в ней присутствуют те и только те значения случайной величины, что и в генеральной совокупности, причём частоты имеющихся в ней данных находятся практически в тех же отношениях, что и в генеральной совокупности. Совокупность данных иногда бывает полезно охарактеризовать (оценить) одним числом — мерой центральной тенденции числовых значений её элементов. К таким характеристикам относятся мода, медиана и среднее. Мода (обозначают Mo) — это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту в рассматриваемой выборке. Пример: Mода выборки 7,6,2,5,6,1 равна 6; a выборка 2,3,8,2,8,5 имеет две моды: Mo=2,  Mo=8.

Центральные тенденции, среднее значение, мода, медиана. Генеральные и выборочные совокупности, объём совокупности, основные виды выборок. Медиана (обозначают Me) — это число (значение случайной величины), разделяющее упорядоченную выборку на две равные по количеству данных части. Если в упорядоченной выборке нечётное количество данных, то медиана равна серединному из них. Если в упорядоченной выборке чётное количество данных, то медиана равна среднему арифметическому двух серединных чисел. Пример: 1) 5,9,1,4,5,−2,0;   2) 7,4,2,3,6,1. 1. Расположим элементы выборки в порядке возрастания: −2,0,1,4,5,5,9. Количество данных нечётно. Слева и справа от числа 4 находятся по 3 элемента, т. е. 4 — серединное число выборки, поэтому Me =4. 2. Упорядочим элементы выборки: 1,2,3,4,6,7. Количество данных чётно. Серединные данные выборки: 3 и 4, поэтому Me=(3+4)/2=3,5.

Центральные тенденции, среднее значение, мода, медиана. Генеральные и выборочные совокупности, объём совокупности, основные виды выборок. Среднее (или среднее арифметическое) выборки — это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству. Если рассматривается совокупность значений случайной величины X, то её среднее обозначают . Пример: Найти среднее выборки значений случайной величины X, распределение которых по частотам представлено в таблице:

Центральные тенденции, среднее значение, мода, медиана. Генеральные и выборочные совокупности, объём совокупности, основные виды выборок. Одной из наиболее распространённых характеристик выборки значений случайной величины, чьё распределение по вероятностям известно, является так называемое математическое ожидание. Пусть распределение по вероятностям P значений некоторой случайной величины X задано таблицей Тогда число E, где E=X1⋅P1+X2⋅P2+...+Xn−1⋅Pn−1+Xn⋅Pn называют математическим ожиданием (или средним значением) случайной величины X.

Практическое занятие: решение задач на оценку неизвестных параметров случайной величины

Самостоятельная работа: решение элементарных практических задач