Финансовая математика. Случайное событие. Случайная величина презентация

1. Случайное событие 2. Случайная величина

Вопрос 4.1.90 Вопрос 4.1.90 Под случайным событием в теории вероятности понимается некоторый факт, который характеризуется следующими признаками: I. Наблюдается однократно; II. Может наблюдаться неоднократно; III. Нельзя с полной определенностью утверждать - произойдет он в очередной раз или нет; IV. При условии контроля условий эксперимента можно утверждать с полной определенностью, произойдет он или нет. Ответы: A. I и IV B. II и III C. II, III или IV D. III

Достоверное событие – это событие, которое происходит всегда. Невозможное событие – это событие, которое в силу объективных причин в результате опыта произойти не может.

Вероятность события А : P (A) = m/n где n – общее число возможных случаев; m – число случаев, благоприятных событию А. Р(А) = 1, если случайное событие – достоверное Р(А) = 0, если случайное событие - невозможное

Вопрос 4.2.111 Документы профессионального участника пронумерованы от 1 до 30. Какова вероятность того, что случайно будет открыт документ с номером, кратным 5?

Р(А) = 6/30 = 0,2 Ответы: А. 0,2 В. 0,17 С. 0,8 D. 0,1

Теорема сложения вероятностей: Теорема сложения вероятностей: Вероятность суммы двух совместимых событий равна: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-P(A*B) Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое событие имело место: P(A*B) = Р(А)*Р(В/А) Если события независимы, то: P(A*B) = Р(А)*Р(В)

Вопрос 4.2.137 Вопрос 4.2.137 Даны следующие вероятности роста доходности акций компаний «А», «В» и «С»: Р(А)=0,8; Р(В)=0,7; Р(С)=0,9. Какова вероятность того, что доходности акций трех компаний вырастут?

Р(АВС) = Р(А)*Р(В)*Р(С) = 0,8*0,7*0,9 = 0,504 Ответы: А. 0,504 В. 0,994 С. 0,974 D. 0,404

Сочетаниями называют комбинации, Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний: С mn = n! / (m! (n - m)!)

Вопроса: 4.2.125 Имеется 10 разных акций. Инвестор хотел бы построить портфель из трех акций, включив каждую из них по одной штуке. Сколько вариантов портфелей может сформировать инвестор?

С mn = 10! / (3! * (10 – 3)!) = 120 Ответы: A. 30 B. 90 C. 120

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

2 формы закона распределения : функция распределения плотность распределения

В форме функции распределения F(x) закон распределения имеет следующий вид: F(X) = P(X<x)

В форме плотности распределения закон распределения имеет следующий вид: f (x) = F’ (X)

Нормальный закон распределения Нормальный закон распределения

Вероятность попадания случайной величины в симметричный относительно математического ожидания диапазон, ширина которого кратна значению стандартного отклонения: Вероятность попадания случайной величины в симметричный относительно математического ожидания диапазон, ширина которого кратна значению стандартного отклонения: P  68,3%   1* P  95,4%   2* P  99,7%   3* σX = √ D [X]

Вопрос 4.2.107 Вопрос 4.2.107 Пусть Х - случайная величина, распределенная по нормальному закону, М - математическое ожидание, D - дисперсия случайной величины, М(Х)=2, D(X)=0,25. Укажите верное утверждение из следующих: I. Х принимает значения с вероятностью 68,3% в интервале от 1,75 до 2,25; II. Х принимает значения с вероятностью 68,3% в интервале от 1,5 до 2,5; III. Х принимает только положительные значения.

P  68,3%  2  1*  {1,5;2,5}; P  95,4%  2  2*  {1,0;3,0}; P  99,7%  2  3*  {0,5;3,5}; Ответы: A. Только I и III B. Только II и III C. Только I D. Только II

Вопрос 4.2.120 Вопрос 4.2.120 Доходность акции А распределена нормально. Среднее значение доходности равно 30% годовых, стандартное отклонение доходности в расчете на год равно 15%. Определить, с какой вероятностью через год доходность акции может оказаться в диапазоне от нуля до 60%.

P  {0;60}  30  2*  95,4% Ответы: A. 68,3% B. 95,4% C. 99,7% D. 0%

Числовые характеристики Числовые характеристики M [X] = Σ xi * pi D [X] = M [ (X - M (X))2 ] σX = √ D [X]

Вопрос 4.2.126 Через год цена акции может иметь следующее распределение: Цена акции 30 руб. 40 руб. 50 руб. Вероятность 30% 60% 10% Определить математическое ожидание цены акции через год.

M [X] = Σ xi * pi = 30*0,3 + 40*0,6 + 50*0,1 = 38 руб. Ответы: A. 38 руб. B. 40 руб. C. 60 руб.

Вопрос 4.2.129 Вопрос 4.2.129 Доходность актива за 3 года представлена в таблице: Определить риск актива, представленный показателями выборочной дисперсии и стандартного отклонение доходности.

σX = √ D [X] σX = √ D [X] М(Х) = (10+14+18)/3 = 14 D [X] = M [ (X - M (X))2] = [(10 – 14)2 + (14 – 14) 2 + (18 – 14) 2 ]/3 = 10,67 σX = √ D [X] = 3,27% Ответы: A. 10,67; 3,27% B. 32; 5,66% C. 89,5; 9,47% D. 108; 10,39%

Свойства числовых характеристик Свойства числовых характеристик M [с] = с D [с] = 0 M [X+с] = M [X] +с D [X+с] = D [X] M [с*X] = с*M [X] D [с*X] = с2* D [X]

Вопрос 4.1.96 Пусть Х - случайная величина, М - математическое ожидание, М(Х)=0,5. Найти М(Х +2).

М(Х+2) = М(Х) + М(2) = 0,5 + 2 = 2,5 Ответы: A. 2,5 B. 4,5 C. 5 D. Указанных данных недостаточно для решения задачи

Вопрос 4.2.104 Вопрос 4.2.104 Пусть Х - случайная величина, М - математическое ожидание, D - дисперсия случайной величины, М(Х)=0,5, D(X)=2,25. Найти D(Х + 2). Ответы: A. 1,5 B. 2,25 C. 2,5 D. Указанных данных недостаточно для решения задачи

Вопрос 4.2.105 Пусть Х - случайная величина, М - математическое ожидание, D - дисперсия случайной величины, М(Х)=0,5, D(X)=1,5. Найти D(2Х + 1).

D(2Х + 1)= D(2Х) = 22*D(Х)= 4*1,5 = 6 Ответы: A. 1,5 B. 4 C. 6 D. Указанных данных недостаточно для решения задачи

Вопрос 4.2.140 Даны 3 актива. Известно, что ожидаемая доходность первого актива X = 30%, ожидаемая доходность второго актива Y = 20%. Определить ожидаемую доходность актива Z, если известно, что Z=9X-6Y+80.

M [9X-6Y+80] = M [9X] - M [6Y] + M [80] = 9*30 – 6*20 + 80 = 230 Ответы: А. 230 В. 150 C. 1710 D. 3150

Дисперсия суммы Дисперсия суммы двух случайных величин D [X+Y] = D [X] + D [Y] + 2*Kxy D(Х + Y) = D(Х) + D(Y), если Х и Y – независимые случайные величины

Kxy = M [(X – Mx)(Y – My)] rxy = Kxy / σX * σY

Вопрос 4.2.103 Вопрос 4.2.103 Пусть Х и Y - случайные величины, D - дисперсия случайной величины, К - ковариация, D(Х)=0,5, D(Y)=1,5, К(Х,Y)= -0,5. Найти D(Х + Y).

D [X+Y] = D [X] + D [Y]+2* Kxy = 0,5 + 1,5 + 2*(-0,5)= 1 Ответы: A. 1,5 B. 2 C. 1

Вопрос 4.2.123 Ковариация доходностей акций А и В равна 120. Стандартное отклонение доходности акций А и В равно 20% и 30%. Определить коэффициент корреляции доходностей акций.

rxy = Kxy / σX * σY = 120/ 20*30 = 0,2 Ответы: A. 0,2 B. 2,4 C. 5

Вопрос 4.2.132 Стандартное отклонение доходности первого актива равно 25%, второго – 34%, коэффициент корреляции между доходностями активов 0,65. Определить ковариацию доходностей активов.

r xy = Kxy / σX * σY Kxy = r xy * σX * σY = 0,65*25*34 = 552,5 Ответы: A. 552,5 B. 0,765 C. 7,65

Вопроса: 4.2.128 Вопроса: 4.2.128 Прогноз инвестора относительно возможных сценариев доходности акций компаний А и В с учетом их вероятностей в следующем периоде представлен в таблице: Определить ожидаемую доходность портфеля, если уд. веса акций А и В в портфеле составляют соответственно 30% и 70%.

E портфеля = Σ Θi * Mi E портфеля = Σ Θi * Mi M [X] = Σ xi * pi M1 = 10*0,5 + 40*0,5 = 25 M2 = 10*0,6 + 20*0,4 = 14 E портфеля = 0,3*25 + 0,7*14 = 17,3% A. 17,3% B. 20% C. 25%