Иррациональные уравнения и неравенства презентация

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения Определение. Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными.

Подходы к решению иррациональных уравнений Иррациональные уравнения решаются с помощью перехода к рациональным уравнениям или системам. Возведение обеих частей уравнения в степень. f(x) = g(x) f 2n+1(x) = g2n+1(x), n N f(x) = g(x) f 2n(x) = g2n(x), n N При возведении в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому обязательно нужно выполнить проверку, подставляя полученные корни в исходное уравнение.

Подходы к решению иррациональных уравнений Пример 1. х3 – х = (х + 1)3 3х2 + 4х + 1 = 0 х1 = - , х2 = -1. Ответ: {- ; -1}.

Подходы к решению иррациональных уравнений Пример 2. х = (х – 2)2. х2 – 5х + 4 = 0 х1 = 4, х2 = 1. Проверка: х1 = 4, - верно; х2 = 1, - ложно; значит х = 1 – посторонний корень. ОДЗ: х ≥ 0 х ≥ 2, т.е. х [2; + ∞). х – 2 ≥ 0 значит х = 1 – посторонний корень, так как 1 [2; + ∞). Ответ: 4.

Подходы к решению иррациональных уравнений Введение одной или нескольких новых переменных. Пример 3. Пусть . Тогда 2у2 + у – 3 = 0 у1 = 1, у2 = -1,5. Значит или х = 1 или х = - . Ответ: {1; - }.

Подходы к решению иррациональных уравнений Пример 4. Пусть Тогда исходное уравнение равносильно системе: u – v = 1 u3 = x + 34 Вычтем из второго третье уравнение: v3 = x – 3 u – v = 1 u = v + 1 u = v + 1 u3 – v3 = 37 (v + 1)3 – v3 = 37 v2 + v -12 = 0 Тогда v1 = 3, v2 = -4. Значит, х – 3 = 33 или х – 3 = (-4)3 х = 30 или х = -61. Ответ: {-61; 30} .

Подходы к решению иррациональных уравнений Предварительный анализ ОДЗ и вида уравнения. Пример 5. ОДЗ: х – 1 ≥ 0 х ≥ 1 3 – 5х ≥ 0 х ≤ 0,6 Ответ: нет корней.

Подходы к решению иррациональных уравнений Пример 6. (как арифметические корни). Значит их сумма равна нулю, только если х = 5 х = ± 5 Ответ: 5.

Иррациональные неравенства Определение. Иррациональные неравенства – это неравенства, содержащие переменную под знаком корня.

Подходы к решению иррациональных неравенств Иррациональные неравенства решаются с помощью перехода к равносильным рациональным неравенствам или их системам.

Подходы к решению иррациональных неравенств

Подходы к решению иррациональных неравенств

Решение иррациональных неравенств Пример 1. х3 + 26 > (x + 2)3 x2 + 2x – 3 < 0 (x -1)(x + 3) < 0 x (-3; 1). Пример 2. 5 – у ≥ 0 у ≤ 5 у [-4; 5] 5 – y ≤ 3 y ≥ 4

Решение иррациональных неравенств Пример 3. 2х – 3 < 0 x < 1,5 x2 + 4x – 5 ≥ 0 (x – 1)(x + 5) ≥ 0 2х – 3 ≥ 0 x ≥ 1,5 x2 + 4x – 5 >(2x + 3)2 3x2 – 16x + 14 < 0 x < 1,5 (x – 1)(x + 5) ≥ 0 x ≥ 1,5