Квантовая механика и квантовая химия. Лекция № 3 презентация

Лекция № 3 Математический аппарат квантовой механики Часть вторая 3 курс ХТФ

Основными характеристиками физической системы в квантовой физике являются наблюдаемые величины и состояния. Наблюдаемым (динамическим) величинам сопоставляются линейные самосопряжённые операторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве. Состояниям системы — классы нормированных элементов этого пространства Основными характеристиками физической системы в квантовой физике являются наблюдаемые величины и состояния. Наблюдаемым (динамическим) величинам сопоставляются линейные самосопряжённые операторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве. Состояниям системы — классы нормированных элементов этого пространства

Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Описывается: — волновой функцией, вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Описывается: — волновой функцией, вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы Комплексное сепарабельное гильбертово пространство – обоб-щение евклидова пространства (размерность – 3), допускающее бесконечную размерность . Характеризуется определённой топо-логией (дополнительной структурой: точка и её окрестности), за-дается комплексными числами (x + i y, где x и y  — вещественные числа, i  — мнимая единица, т.е. величина, для которой выполня-ется равенство: i 2 = − 1)

Представление наблюдаемых величин в виде операторов с накладываемыми на них ограничениями делается по двум причинам: Представление наблюдаемых величин в виде операторов с накладываемыми на них ограничениями делается по двум причинам: 1. Собственные значения самосопряжённых операторов: соответствуют конкретным значениям физических величин; являются вещественными числами, то есть тем, с чем на практике имеют дело экспериментаторы (показания приборов, результаты вычислений и т. д.).

2.Согласно принципу суперпозиции одна и та же квантовая частица может находиться одновре-менно во множестве квантовых состояний. Эти состояния описываются множеством собствен-ных значений соответствующего оператора. Это множество собственных значений может быть: 2.Согласно принципу суперпозиции одна и та же квантовая частица может находиться одновре-менно во множестве квантовых состояний. Эти состояния описываются множеством собствен-ных значений соответствующего оператора. Это множество собственных значений может быть: конечным (дискретный спектр значений); интервальным (непрерывный спектр значений); смешанным

Состояние квантовой системы описывается волновой функцией Ψ(q1, q2, …, qn, t), которая зависит от координат всех образующих систему частиц и времени. Чистое сост. Состояние квантовой системы описывается волновой функцией Ψ(q1, q2, …, qn, t), которая зависит от координат всех образующих систему частиц и времени. Чистое сост. Волновая функция физического смысла не имеет, физи-ческий смысл несёт квадрат её модуля |Ψ(q1, q2, …, qn, t)|2. Он дает плотность вероятности обнаружить систему в положении, описываемом координатами q1 = q01, q2 = q02, … , qn = q0n в момент времени t. Волновая функция является комплексной функцией. Чтобы выявить какое-либо динамическое свойство систе-мы на волновую функцию действуют соответствующим оператором.

Каждый из линейных операторов имеет собственные век-торы и собственные вещественные значения, которые и выступают в роли соответствующих данному оператору значений физических величин Каждый из линейных операторов имеет собственные век-торы и собственные вещественные значения, которые и выступают в роли соответствующих данному оператору значений физических величин

Всем динамическим свойствам в кв. мех. можно сопоста-вить эрмитовы матрицы. Они связаны с преобразованием векторов в n-мерном пространстве. Всем динамическим свойствам в кв. мех. можно сопоста-вить эрмитовы матрицы. Они связаны с преобразованием векторов в n-мерном пространстве. Матрица – это прямоугольная система чисел. Размерность матрицы (m x n), m – кол. строк, n – столбцов Если m = n – матрица квадратная, а n – порядок матрицы Если преобразования в трёхмерном пространстве(3 х 3) Величины в скобках – элементы матрицы

Элементы a11, a22, …, ann   находятся на главной диагонали матрицы An×n   . Эти элементы назы-ваются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы a1n, a2n−1, …, an1   находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побоч-ными диагональными элементами Элементы a11, a22, …, ann   находятся на главной диагонали матрицы An×n   . Эти элементы назы-ваются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы a1n, a2n−1, …, an1   находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побоч-ными диагональными элементами

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1

Системы декартовых координат Лабораторная система и системы центра масс:

Взаимосвязь систем отсчета М. – связанная совокупность К атомов, с mα (α = 1, 2, …, К) Xα, Yα, Zα –координаты ядер, позволяющие определить движение молекулы (поступательное, вращательное, колебательное) Параметры, характеризующие колебания атомов R1, R2, …, Rn отвечают геометрической конфигурации молекулы (расположению атомов). Координаты атома через эти параметры : xa = xa(R1, R2, …,Rn), ya = ya(R1, R2,…, Rn), za = za(R1, R2, …, Rn); где n для линейных молекул составляет 3К-5, для нелинейных 3К-6 Оптимизированное состояние молекул позволяет выделить переменные qi для описания колебаний ядер ( колебательные координаты)

Матрица, заданная в каждой точке трёхмерного простран-ства, описывающая неоднородность этого пространства, действующая на входящий вектор (изменяет его направ-ление и масштаб) – называется тензором второго ранга. Матрица, заданная в каждой точке трёхмерного простран-ства, описывающая неоднородность этого пространства, действующая на входящий вектор (изменяет его направ-ление и масштаб) – называется тензором второго ранга. Элементы тензора при смене систем преобразуются по определённому математическому закону

Классическое представление момента инерции Классическое представление момента инерции

Изолированная молекула из 3 атомов. Масса всех атомов различна. Приложив внешн. силу к центру масс сообщаем поступательное движение всей системе. Задаем первона-чальный импульс. Изолированная молекула из 3 атомов. Масса всех атомов различна. Приложив внешн. силу к центру масс сообщаем поступательное движение всей системе. Задаем первона-чальный импульс. Затем приложив внешн. силу к одному из атомов – сооб-щаем вращательное движение. Добавляем ещё импульс. И сами скорости и вектор скорости этих движений разные.

В этой системе есть некое математическое свойство, которое может поворачивать и масштабировать вектора, не меняя при этом остальных параметров молекулы. И этот объект – тензор. Матрица, преобразующая вектора. Её компоненты меняются, но их действие на вектор движения молекулы останется таким же В этой системе есть некое математическое свойство, которое может поворачивать и масштабировать вектора, не меняя при этом остальных параметров молекулы. И этот объект – тензор. Матрица, преобразующая вектора. Её компоненты меняются, но их действие на вектор движения молекулы останется таким же

Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцом а в ковариантной форме — матрицей-строкой.

Спасибо за внимание! Спасибо за внимание!

Задание на усвоение