Лекция 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной презентация

Лекция 1

Тема: Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§1. Производная функции ОПР. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции Δy = f (x+ Δx) – f (x) к приращению аргумента Δx при Δx  0, если этот предел существует и конечен Для обозначения производной функции используют символы:

Функция, имеющая конечную производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке, а операция нахождения производной называется дифференцированием. Функция, имеющая конечную производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке, а операция нахождения производной называется дифференцированием. Функция, имеющая конечную производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференци-руемой в этом промежутке.

Связь дифференцируемости и непрерывности функции Если функция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в ней. Обратное утверждение неверно, т. е., если функция непрерывна в точке, то она может быть не дифференцируемой в этой точке. Например, функция   непрерывна, но не дифференцируема в точке x = 0.

1.1. Техника дифференцирования Правила дифференцирования Пусть и дифференцируемые функции независимой переменной x,

Таблица производных

Пример Найти производные первого порядка функций 1). Решение. Применим формулу производной суммы Далее используем формулы:

(1): (1): (3): (1): Правило (1): Тогда:

2) 2) Решение. Используем правило дифференцирования произведения Далее, по таблице производных имеем: Формула (5): Формула (10):

3) Производная сложной функции. Вычислить производную 3) Производная сложной функции. Вычислить производную Решение. Используем формулу В данном случае Тогда:

1.2. Дифференциал функции Пусть функция имеет в точке x производную Тогда где при

Причем, Причем, Слагаемое - главная часть приращения функции .

ОПР. Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается : ОПР. Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается : Так как дифференциал независимой переменной x равен приращению этой переменной: , то

1.3. Геометрический смысл производной 1.3. Геометрический смысл производной Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой

1.4. Уравнения касательной и нормали Уравнение касательной можно найти, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении А так как то уравнение касательной.

Уравнение нормали Прямая перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью к кривой. Угловые коэффициенты касательной и нормали связаны условием перпендикулярности:

Потому уравнение нормали в точке имеет вид: Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения.

Экономический смысл производной. Эластичность Пусть функция u=u(t) выражает количество произведенной продукции u за время t. Необходимо найти производи-тельность труда в момент времени За период времени от до количество произведенной продукции изменится от до

Средняя производительность труда за этот период времени: Средняя производительность труда за этот период времени: ОПР. Производительностью труда в момент называется предельное значение средней производительности за период времени от до при

ОПР. Эластичностью функции y=f(x) в точке x называется предел ОПР. Эластичностью функции y=f(x) в точке x называется предел Эластичность функции показывает на сколько процентов изменится зависимая переменная y, если независимая переменная x получит приращение в 1%. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности спроса.

Пусть D=D(p) – функция спроса (зависит от цены товара p). Тогда под эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены товара на 1%. Пусть D=D(p) – функция спроса (зависит от цены товара p). Тогда под эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены товара на 1%. Различают следующие виды спроса: Если |E(D)|>1, то спрос считается эластичным; Если |E(D)|=1, то спрос нейтрален; Если |E(D)|<1, то спрос неэластичен; Если E(D)=0, то спрос совершенно неэластичен.

Упражнение Пусть функция спроса задана зависимостью Найти при каких значениях цены p спрос будет эластичным.