Лекция 7. Булевая алгебра. Элементы математической логики и теории автоматов презентация

ТЕМА 5. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ АВТОМАТОВ Основные понятия алгебры логики Элементарные булевы функции Полнота системы булевых функций Законы и тождества алгебры логики Представление булевых функций дизъюнктивными и конъюнктивными нормальными формами Синтез комбинационных схем

1 Основные понятия алгебры логики Математический аппарат, базирующийся на алгебре логики, широко используется для описания функционирования, анализа и синтеза цифровых схем. Основным понятием алгебры логики является высказывание. Высказыванием называется всякое суждение (утверждение), которое либо истинно, либо ложно. Одновременно истинным и ложным высказывание быть не может. Истинность высказывания обозначается единицей, а ложность – нулем. Простое высказывание не зависит от значений других высказываний..

Значение истинности сложного высказывания зависит от истинности других высказываний, составляющих его. Значение истинности сложного высказывания зависит от истинности других высказываний, составляющих его. Любое сложное высказывание можно считать логической функцией от простых высказываний (аргументов). Логическая функция, как и ее аргументы, принимает только два значения: единица или нуль. Множество символов X = {x1, х2,..., хn}, каждый из которых принимает значения единица или нуль, называется множеством переменных или аргументов. Функция f(x1, х2,..., хn), определенная на множестве всевозможных наборов аргументов из X и принимающая значения единица или нуль, называется функцией алгебры логики или булевой функцией.

Областью определения булевой функции служит совокупность всевозможных n-мерных наборов из единиц и нулей. Областью определения булевой функции служит совокупность всевозможных n-мерных наборов из единиц и нулей. Приняты три способа задания булевых функций: Формула, указывающая в явном виде последовательность операций, производимых над переменными: Таблица истинности, в левой части которой перечисляются все возможные комбинации значений аргументов x1, x2,..., хn, а в правой – значения функции. При n переменных число строк таблицы равно 2n. Логическая схема или условное графическое изображение логической функции.

Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргументов, конечно и равно Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргументов, конечно и равно Значения функции могут быть заданы не на всех возможных наборах аргументов. Функции, значения которых на некоторых наборах не определены, называются не полностью определенными. Функция существенно зависит от аргумента xi, если имеет место соотношение В противном случае функция зависит от xi несущественно и xi является ее фиктивным аргументом. Функция не изменится, если к ее аргументам дописать любое число фиктивных аргументов или зачеркнуть те аргументы, которые для данной функции являются фиктивными.

Число всех функций алгебры логики Аn, существенно зависящих от n аргументов, определяется следующим рекуррентным соотношением: Число всех функций алгебры логики Аn, существенно зависящих от n аргументов, определяется следующим рекуррентным соотношением: где Аi – число функций алгебры логики, существенно зависящих от i аргументов, Cnm – число сочетаний из n элементов по m

2 Элементарные булевы функции

3 Полнота системы булевых функций Одно из основных понятий алгебры логики - понятие функциональной полноты системы булевых функций. Система булевых функций называется функционально полной, если она позволяет представить любую булеву функцию. Логические элементы, соответствующие функционально полным наборам булевых функций, образуют так называемый базис и позволяют построить любую сколь угодно сложную логическую схему. Наиболее распространенными являются базисы И-ИЛИ-НЕ, ИЛИ-НЕ, И-НЕ.

4 Законы и тождества алгебры логики

4) Дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции относительно конъюнкции 4) Дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции относительно конъюнкции x1(x2\/x3) = x1x2\/x1x3, x1\/ x2x3 = (x1\/x2)( x1\/x3) 5) де Моргана 6) Двойного отрицания 7) Склеивания

8) Поглощения 8) Поглощения x1\/ x1x2 = x1, x1(x1\/x2) = x1 9) Действия с константами 0 и 1 x\/0 = х, x·0 = 0, x\/1 = 1 x·1 = х, Правило 1. Если логическая сумма двоичных переменных содержит хотя бы одну пару слагаемых, из которых одно есть некоторая переменная, а другое – ее отрицание, то она является тождественно истинной:

Правило 2. Если логическое произведение двоичных переменных содержит хотя бы одну пару сомножителей, из которых один есть некоторая переменная, а другой – ее отрицание, то оно является тождественно ложным Правило 2. Если логическое произведение двоичных переменных содержит хотя бы одну пару сомножителей, из которых один есть некоторая переменная, а другой – ее отрицание, то оно является тождественно ложным

5 Представление булевых функций дизъюнктивными и конъюнктивными нормальными формами Любая логическая функция может выражаться различными логическими формулами, являющимися эквивалентными. Наиболее удобными для практического использования являются нормальные формы представления сложных логических функций. Элементарной конъюнкцией Q называется логическое произведение любого конечного числа переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается только один раз. Число переменных, составляющих элементарную конъюнкцию, называется ее рангом.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция элементарных конъюнкций: Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция элементарных конъюнкций: Любая булева функция может быть представлена в ДНФ Элементарной дизъюнкцией D называется логическая сумма конечного числа переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в сумме один раз. Число переменных, составляющих элементарную дизъюнкцию, называется ее рангом.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция элементарных дизъюнкций: Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция элементарных дизъюнкций: Любую булеву функцию можно представить в КНФ Одна и та же логическая функция путем эквивалентных преобразований может быть представлена различными ДНФ или КНФ. Единственность представления обеспечивают совершенные нормальные формы.

Пример 1. Привести функцию к СДНФ. Пример 1. Привести функцию к СДНФ. Решение: Дополним конъюнкции второго ранга до конъюнкций третьего ранга, используя закон склеивания: Просуммируем конъюнкции:

Если логическая функция задана таблицей истинности, то построение СДНФ осуществляется по следующему алгоритму: Если логическая функция задана таблицей истинности, то построение СДНФ осуществляется по следующему алгоритму: 1) Выбираются наборы аргументов, на которых функция обращается в единицу; 2) Выписываются конъюнкции, соответствующие этим наборам, причем если аргумент хi входит в набор как единица, то в конъюнкцию он вписывается без изменения. Если же аргумент хi входит в данный набор как нуль, то в соответствующую конъюнкцию вписывается его отрицание; 3) Все выписанные конъюнкции соединяют знаком дизъюнкции. Элементарные конъюнкции СДНФ называют конституэнтами единицы.

Пример 2. Построить СДНФ для функции, заданной таблично. Пример 2. Построить СДНФ для функции, заданной таблично.

Совершенной КНФ (СКНФ) логической функции f от n различных переменных называется КНФ, которая содержит только дизъюнкции ранга n и не содержит одинаковых дизъюнкций. Совершенной КНФ (СКНФ) логической функции f от n различных переменных называется КНФ, которая содержит только дизъюнкции ранга n и не содержит одинаковых дизъюнкций. Построение СКНФ по таблично заданной функции осуществляется в следующей последовательности: 1) Выбираются наборы аргументов, на которых функция обращается в нуль; 2) Выписываются дизъюнкции, соответствующие этим наборам, причем если аргумент хi входит в набор как нуль, то в дизъюнкцию он вписывается без изменения. Если же аргумент хi входит в данный набор как единица, то в соответствующую дизъюнкцию вписывается его отрицание; 3) Все выписанные дизъюнкции соединяют знаком конъюнкции. Элементарные дизъюнкции СКНФ называют конституэнтами нуля.

Пример 3. Построить СКНФ для функции f(x1, x2, x3), заданной таблично. Пример 3. Построить СКНФ для функции f(x1, x2, x3), заданной таблично.

6. Синтез комбинационных схем

Логическая схема, реализующая эту функцию в базисе И-ИЛИ-НЕ. Логическая схема, реализующая эту функцию в базисе И-ИЛИ-НЕ.

Преобразуем f(x1, x2, x3) к базису И-НЕ: Преобразуем f(x1, x2, x3) к базису И-НЕ:

Преобразуем f (x1, x2, x3) к базису ИЛИ-НЕ: Преобразуем f (x1, x2, x3) к базису ИЛИ-НЕ:

В серийно выпускаемых интегральных микросхемах в одном корпусе могут быть объединены несколько логических схем, например, элемент 4И-НЕ, элемент 2И-ИЛИ-НЕ, элемент 2-2-2-3И-4ИЛИ-НЕ. В серийно выпускаемых интегральных микросхемах в одном корпусе могут быть объединены несколько логических схем, например, элемент 4И-НЕ, элемент 2И-ИЛИ-НЕ, элемент 2-2-2-3И-4ИЛИ-НЕ.