Линейные пространства со скалярным произведением презентация

Математика Лекция 5

§ 7. Линейные пространства со скалярным произведением § 7. Линейные пространства со скалярным произведением В линейном пространстве L над полем R определено скалярное произведение, если любой упорядоченной паре x,yL по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число, которое обозначается через (x, y) и при этом выполняются следующие условия (аксиомы скалярного произведения): 1. x, yL (x, y) = (у, х); 2. x, yL, λR (λx, y) = λ(x, y); 3.   x, y, z  L (x + y, z) = (х, z) + (y, z); 4. x L (x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0  x = θ.

Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством и обозначается Е. Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством и обозначается Е. Например, в котором трехмерное евклидово пространство геометрических векторов.

Некоторые метрические понятия в евклидовом пространстве Некоторые метрические понятия в евклидовом пространстве 1. Норма (длина) элемента: Свойства нормы: а)  б)  в) 

2. Метрика (расстояние) элементов: 2. Метрика (расстояние) элементов: Свойства метрики: а)  б)  в)  3. Угол между элементами: который определяется по формуле

В евклидовом пространстве можно определить ортогональность элементов: В евклидовом пространстве можно определить ортогональность элементов: Некоторые метрические соотношения в Е 1. Неравенство Коши-Буняковского: 2. Неравенство Минковского: 3. Теорема Пифагора:

Пусть L – линейное пространство над полем С. Пусть L – линейное пространство над полем С. Отображение называется скалярным произведением в L, если x,y,zL, λC: 1.  2.  3.  4.  Комплексное линейное пространство со скалярным произведением называется унитарным пространством и обозначается U.

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов Пусть в Un задан произвольный фиксированный базис (ε1, ε2,…, εn) и пусть элементы Тогда Обозначив получим

Матрица называется матрицей Грама в базисе (ε1,…, εn) и обозначается G. Матрица называется матрицей Грама в базисе (ε1,…, εn) и обозначается G. Матрица Грама базисных элементов (ε1,…, εn) задает скалярное произведение в этом базисе. Скалярное произведение элементов x и y в базисе (ε1,…, εn) пространства Un можно записать в матричной форме: где

Замечание. В евклидовом пространстве Еn скалярное произведение элементов x и y в произвольном базисе (ε1,…, εn) равно Замечание. В евклидовом пространстве Еn скалярное произведение элементов x и y в произвольном базисе (ε1,…, εn) равно Теорема о необходимых и достаточных условиях линейной зависимости системы векторов в евклидовом пространстве: система элементов линейно зависима тогда и только тогда, когда Следствие. Система элементов линейно независимая тогда и только тогда, когда Теорема имеет место для унитарного пространства.

Ортогональная система элементов и ее свойства Ортогональная система элементов и ее свойства Пусть – система элементов унитарного (евклидова) пространства U (E). A – ортогональная система элементов тогда и только тогда, когда Теорема 1. Если – ортогональная система ненулевых элементов, то A – линейно независимая система.

Теорема 2. Пусть Теорема 2. Пусть Замечание. Если элемент b ортогонален каждому элементу из то говорят, что b ортогонален подпространству L и записывают b  L. Нормированность элемента Элемент aU называется нормированным, если его норма

Любой ненулевой элемент a можно нормировать, умножив его на некоторое число λ  0. Любой ненулевой элемент a можно нормировать, умножив его на некоторое число λ  0. Действительно, по условию нормировки элемента: нормирующий коэффициент.

Система называется ортонормированной (ОНС), если Система называется ортонормированной (ОНС), если Матрица Грама векторов ОНС равна единичной матрице. Базис в унитарном (евклидовом) пространстве называется ортонормированным (ОНБ), если его элементы образуют ортонормированную систему.

В ОНБ (е1,…, еn) пространства Un скалярное произведение векторов x и y равно В ОНБ (е1,…, еn) пространства Un скалярное произведение векторов x и y равно В ОНБ евклидова пространства En скалярное произведение векторов x и y равно

Теорема о существовании ОНБ. В унитарном (евклидовом) n−мерном пространстве существует ОНБ. Теорема о существовании ОНБ. В унитарном (евклидовом) n−мерном пространстве существует ОНБ. Для построения ортогонального базиса применяют процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Пусть (ε1, ε2,…, εn) – произвольный базис в Un. Тогда е1 = ε1, где образуют ортогональный базис Un.