Машина Тьюринга. Теория алгоритмов, формальных языков, грамматик и автоматов презентация

Машина Тьюринга (Бильгаева Н.Ц. Теория алгоритмов, формальных языков, грамматик и автоматов)

Типы алгоритмов. История создания Интенсивный поиск универсального уточнения алгоритма предложил примерно 20 формальных конструкций алгоритмов, которые условно можно разбить на три типа Алгоритмические машины (АМ). Функции, вычислимые алгоритмом. Исчисления.

Алгоритмические машины (АМ) имеют единственный процессор, выполняющий небольшой набор очень примитивных действий, простую структуру данных (структуру памяти) в виде бесконечной ленты, простую логику (правила) управления процессором.

Основные АМ Машина Тьюринга (МТ) предложена Тьюрингом в 1937 г. Машина Поста (МР) предложена Постом в 1937 г. Нормальный алгоритм Маркова (НАМ) предложен Марковым в 1953 г.

Автор

Структура алгоритма (составляющие алгоритма) Процессорная структура. (Исполнитель алгоритма). Во всех теоретических конструкциях алгоритмов и большинстве алгоритмических языках это единственный процессор. Структуры данных. Структура данных это способ организация записи, хранения и извлечение данных. Данные – это элементы множеств, которые нужно порождать или распознавать..

Составляющие структуры Информационная структура алгоритма (ИСА). Структура функций есть описание конструирования функции от функций из базовых. Логическая структура алгоритма (ЛСА) или программы (ЛСП). ЛСА суть описание организации вычислительного процесса, который управляется состоянием памяти.

Интерпретация МТ. Процессор – в МТ называется управляющей головкой (УГ). Структура данных (память процессора) бесконечная лента, разбитая на ячейки, в ячейку может быть записан только один символ Процесс вычислений происходит по тактам Процесс остановки (остановка) МТ. Замечание Список правил для МТ не упорядочен

МТ Тьюринг назвал свое абстрактное механическое устройство "универсальной машиной", поскольку она должна была справляться с любой допустимой, то есть теоретически разрешимой задачей — математической или логической. Данные должны были вводиться в машину на бумажной ленте, поделенной на клетки — ячейки. Каждая такая ячейка либо содержала символ, либо была пустой. Машина могла не только обрабатывать записанные на ленте символы, но и изменять их, стирая старые и записывая новые в соответствии с инструкциями, хранимыми в ее внутренней памяти.

Абстрактная модель машины Тьюринга МТ = <Q, D, P, q0, qкон>

МТ = <Q, D, P, q0, qкон>

Машина Тьюринга состоит из трех частей: ленты, считывающе-записывающей головки и логического устройства Машина Тьюринга состоит из трех частей: ленты, считывающе-записывающей головки и логического устройства

Головка неподвижна, а лента передвигается относительно нее вправо или влево. Головка неподвижна, а лента передвигается относительно нее вправо или влево. Машина работает в некотором произвольном конечном алфавите A = {ε a1…a n} – этот алфавит называется внешним. В нем выделяется специальный символ – ε, называемый пустым – его посылка в какую-либо ячейку стирает тот символ, который до этого там находился, и оставляет ячейку пустой.

В каждую ячейку ленты может быть записан лишь один символ. В каждую ячейку ленты может быть записан лишь один символ. Информация, хранящаяся на ленте, изображается конечной последовательностью символов внешнего алфавита, отличных от пустого символа. Головка всегда расположена над одной из ячеек ленты. Работа происходит тактами (шагами).

Система исполняемых головкой команд предельно проста: Система исполняемых головкой команд предельно проста: на каждом такте она производит замену символа в обозреваемой ячейке ai символом aj При этом возможны сочетания: j = i – это означает, что в обозреваемой ячейке символ не изменился; i_0, j = 0 означает, что хранившийся в ячейке символ заменяется пустым, т.е. стирается; i =0, j_ 0 означает, что пустой символ заменяется непустым (с номером j в алфавите), т.е. производится вставка символа; i j_ 0 соответствует замене одного символа другим.

Команды перемещений ленты L («Left») на ячейку влево, R («Right») на ячейку вправо S («Stop») остаться на месте, т.е. адрес обозреваемой ячейки в результате выполнения команды может либо измениться на 1, либо остаться неизменным.

Элементарный шаг (такт) работы машины Тьюринга головка считывает символ из обозреваемой ячейки и, в зависимости от своего состояния и прочитанного символа, выполняет команду, в которой указано, какой символ записать (или стереть) и какое движение совершить. При этом и головка переходит в новое состояние

Определение Конфигурация машины- совокупность состояний всех ячеек ленты, состояния УУ и положение головки Определение Конфигурация машины- совокупность состояний всех ячеек ленты, состояния УУ и положение головки В зависимости от начальной конфигурации возможны два варианта : после конечного числа тактов машина останавливается по команде остановки; при этом на ленте оказывается конечная конфигурация, соответствующая выходной информации; остановки не происходит. В первом случае говорят, что данная машина применима к начальной информации, во втором – нет.

Пример Пусть начальной является конфигурация 1q11111. Такт 1 Обозревается 1, в ЛУ состояние q. Выходная команда q1R, что эквивалентно перемещению головки по отношению ленты на 1 шаг вправо. Следовательно, образуется промежуточная конфигурация 11q111. Такт 2 – аналогичным образом осуществляется переход к конфигурации 111q11. Такт 3 – переход к конфигурации 1111q1. Такт 4 –переход к конфигурации 11111q Такт 5 Обозревается , в ЛУ состояние q. Выходная команда z1S – вместо в ячейку записывается 1, сдвига нет, работа прекращается. Конечная конфигурация 111111z. Задача решена.

Отличия читающего автомата с выходом и МТ

Тезис Тьюринга Всякий алгоритм может быть задан посредством тьюринговой функциональной схемы и реализован в соответствующей машине Тьюринга. Машина Тьюринга - это модель компьютера

Отличия ЭВМ и машины Тьюринга Главное отличие машины Тьюринга от ЭВМ – бесконечная лента В отличие от машины Тьюринга память реальных машин всегда конечна и ее ограничения удается преодолеть путем организации циклов if – если и for – делай до тех пор пока

Этапы решения задачи

Представление машины Тьюринга совокупностью команд Совокупность всех команд, которые может выполнять машина, называется ее программой. Машина Тьюринга считается заданной, если заданы ее внешний и внутренний алфавиты, программа, начальная конфигурация и указано, какие из символов обозначают пустую ячейку и заключительное состояние. Чтобы записать совокупность команд, нужно воспользоваться следующими правилами: 1) начальному шагу алгоритма ставится в соответствие q 0 - начальное состояние; 2) циклы реализуются так, что последнее действие цикла должно соответствовать переходу в то состояние, которое соответствует началу цикла; 3) соседним шагам алгоритма соответствует переход в смежные состояния, которые соответствуют этим пунктам; 4) последний шаг алгоритма вызывает переход в заключительное состояние.

Представление машины Тьюринга графом При представлении машины Тьюринга посредством графа необходимо каждому состоянию поставить в соответствие вершину графа, а каждой команде - помеченную дугу. Машина Тьюринга из рассмотренного примера инвертирования цепочки, состоящей из символов 0 и 1, будет представлена в виде графа следующим образом:

Представление машины Тьюринга таблицей соответствия

Пример 1. Построить машину Тьюринга, которая правильно вычисляет функцию f(x) =x+1 по правилам двоичного сложения. Решение. Исходя из формулировки задачи, требующей вычислить функцию по правилам сложения в двоичной системе сложения, выберем входной алфавит: А ={0, 1, ε}. Представим машины Тьюринга таблицей соответствия и графом. Таблица соответствия:

Построение МТ Для того чтобы доказать вычислимость функции, а в дальнейшем и существование алгоритма необходимо построить машину Тьюринга, реализация которой на практике зачастую представляет собой трудоемкую задачу. В связи с этим возникает необходимость разбиения алгоритма на отдельные задачи, каждая из которых будет решаться отдельной машиной Тьюринга. Если объединить программы этих машин, то получится новая программа, позволяющая решить исходную задачу.

Операции над машинами Тьюринга 1. Композиция машин Тьюринга. Пусть машины Т1 и Т2 имеют программы Р1 и Р2. Предположим, что внутренние алфавиты этих машин не пересекаются; пусть qz1 - заключительное состояние машины Т1, а q02 - начальное состояние машины Т2. Заменим всюду в программе Р1 заключительное состояние qz1 на начальное состояние q02 машины Т2 и полученную программу объединим с программой Р2. Новая программа Р определяет машину Т, называемую композицией машин Т1 и Т2 по паре состояний (qz1, q02). Композиция машин может быть обозначена Т1 ⋅Т2 или Т1Т2. Более подробно композиция машин записывается следующим образом: Т = Т(Т1, Т2, (qz1, q02)), где T1 = (Q1, A1, δ1, p01, pz1, a01, a11), Т2= (Q2, A2, δ2, p02, pz2, a02, a12).

Операции над МТ

Операции над МТ

Алгоритмическая машина Поста (МП) — абстрактная вычислительная машина, предложенная Эмилем Леоном Постом (Emil L. Post), которая отличается от машины Тьюринга большей простотой. Обе машины «эквивалентны» и были созданы для уточнения понятия «алгоритм» Абстрактная машина Поста состоит из бесконечной ленты, разделенной на равные секции, считывающе-записывающей головки. Каждая секция может быть либо пуста (т.е. в нее ничего не записано), либо заполнена (отмечена – т.е. в нее записана метка). Состояние ленты и информация о положении головки характеризуют состояние машины Поста.

За один такт (его называют шагом) головка может сдвинуться на одну секцию вправо или влево и поставить или удалить метку. За один такт (его называют шагом) головка может сдвинуться на одну секцию вправо или влево и поставить или удалить метку. Работа машины Поста заключает в переходе от одного состояния машины к другому в соответствии с заданной программой, которая строится из отдельных команд.

Структура команды Каждая команда имеет следующую структуру xKy, x – номер исполняемой команды; K – указание о выполняемом действии; y – номер следующей команды (наследника).

Система команд машины

Система команд машины

Пример

Комментарий к примеру Последовательное исполнение команд 1 и 2 приводит к тому, что головка за два такта работы машины сдвигается на одну позицию вправо. Это передвижение продолжается до тех пор, пока после очередного сдвига под головкой не окажется пустая ячейка – тогда по команде 3 в нее будет поставлена метка и по команде 4 машина остановится

Если данные условия не выполняются, происходит безрезультатная остановка машины, т.е. остановка до получения запланированного результата. Если данные условия не выполняются, происходит безрезультатная остановка машины, т.е. остановка до получения запланированного результата. В отличие от этой ситуации, остановка по команде <x стоп> является результативной, т.е. она происходит после того, как результат действия алгоритма получен. Кроме того, возможна ситуация, когда машина не останавливается никогда – это происходит, если ни одна из команд не содержит в качестве последователя номера команды остановки или программа не переходит к этой команде.

Функции, вычислимые алгоритмом алгоритм не определяется формально, а существует как бы в виде «всем понятной механической процедуры». Любая функция, вычислимая на интуитивном (содержательном) уровне, должна быть сконструирована из базовых

Вычислимые функции

Рекурсивные функции Рекурсивные функции на множестве натуральных чисел были предложены Клини в 1938 г. Конструктивные механизмы рекурсивных функций очень просты, их применение в процессе построения «функции от функции» позволяет явно выстраивать структуру функции в отличие от АМ, где функция определяется процедурно, через последовательность действий.

Рекурсия Пример: определение факториала. n!=1*2*3*...*n. Н.Вирт отмечает, что "...мощность рекурсии связана с тем, что она позволяет определить бесконечное множество объектов с помощью конечного высказывания".

Рекурсивные функции Рекурси́вная фу́нкция (от лат. recursio — возвращение) — это числовая функция   числового аргумента, которая в своей записи содержит себя же. Рекурсия – это такой способ организации вычислительного процесса, при котором процедура или функция в ходе выполнения составляющих ее операторов обращается сама к себе.

Свойства рекурсивных алгоритмов: Правильный рекурсивный алгоритм не должен создавать бесконечную последовательность вызовов самого себя. Для этого он обязательно должен содержать нерекурсивный выход, т.е. при некоторых исходных данных вычисления в алгоритме должны производиться без вызовов его самого - тривиальный случай. Определение сложного случая в терминах более простого. При любых исходных данных нерекурсивный выход должен достигаться за конечное число рекурсивных вызовов. Для этого каждый новый вызов рекурсивного алгоритма должен решать более простую задачу, т.е. рекурсивный алгоритм должен содержать определение некоторого сложного случая в терминах более простого случая.

Примитивная рекурсия Оператор примитивной рекурсии Rn позволяет определить (n+1) - местную функцию f по двум заданным функциям, одна из которых является n- местной функцией g, а другая (n+2) - местной функцией h. Функция f(x1, x2, ..., xn, y) получается оператором примитивной рекурсии из функции g(x1, x2, ..., xn) и функции h(x1, x2, ..., xn, y, z), по схеме: f(x1, x2, ..., xn, 0) = g(x1, x2, ..., xn); f(x1, x2, ..., xn, y+1) = h(x1, x2, ..., xn, y, f(x1, x2, ..., xn, y)). Независимо от числа переменных в f рекурсия ведется только по одной переменной у. Остальные n переменных x1, x2, ..., xn на момент применения схемы зафиксированы и играют роль параметров.

Исчисления. Исчисление функций, вычисляемых на множестве натуральных чисел предложено Эрбраном и Гёделем в 1938 г. -исчисление А.Чёрча также может быть отнесено к этому типу алгоритмов, предложено в 1937 г. Формальные грамматики, порождающие языки, предложены Хомским в 1953 – 1956 г.

Метапрограммирование Метапрограммирование предусматривает написание программ, которые работают с другими программами в качестве данных. Язык обрабатывающей программы называется метаязыком, язык обрабатываемой — объектным языком. Простейшим примером метапрограмми-рования является любой компилятор, преобразующий код, написанный на языке высокого уровня, в низкоуровневый машинный язык или ассемблер.

Ассоциативное исчисление