Методы численного интегрирования (нахождение определенных интегралов) презентация

Содержание


Презентации» Математика» Методы численного интегрирования (нахождение определенных интегралов)
Методы  численного  интегрирования  (нахождение определенных интегралов)1. Аналитический методАналитический метод интегрирования не всегда может быть применен на практике.
 АналитическийГрафическая интерпретация определенного интеграла
   Линии ограничения:
 y=0;
 y=f(x);
 x=a;
2. Численные методы1. Метод прямоугольников
 Отдельно взятая полоса представляется в виде прямоугольника ширинойА. Метод левых прямоугольников
 Высота - значение функции в левой точкеB. Метод правых прямоугольников
 Высота - значение функции в правой точкеС. Метод средних прямоугольников
 Высота - значение функции в середине основанияБлок-схема метода  средних прямоугольников2. Метод трапеций
 Отдельно взятая полоса представляется в виде перевернутой трапецииГладкая кривая заменяется ломаной линией
   Гладкая кривая заменяется ломанойБлок-схема метода  трапеций3. Метод Симпсона 
 Гладкая функция заменяется участками парабол.
 Через любыеГладкая кривая заменяется участками парабол
   Гладкая кривая заменяется участкамиЛюбая парабола описывается уравнением:
 Любая парабола описывается уравнением:
 y=ax2+bx+c
 Точки (0,Подставляем координаты 3-х точек в уравнение для параболы, получаем систему линейныхВыведем формулу для расчета коэффициентов a и b:Площадь под фигуры можно вычислить, проинтегрировав полученную параболическую зависимость:
 Площадь подПолучим:
 Получим:
 Если число разбиений будет не 2, а 4, тоВ общем виде:
 В общем виде:
    Формула СимпсонаБлок-схема метода  СимпсонаЗамечания о погрешности численного  интегрированияДля оценки погрешности численного интегрирования сравним значения интеграла, рассчитанные различными численнымиИз таблицы видно, что погрешность зависит от метода интегрирования и отЗависимость погрешности численного интегрирования от числа разбиений интервала интегрирования
 Зависимость погрешности



Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Методы численного интегрирования (нахождение определенных интегралов)


Слайд 2
Описание слайда:
1. Аналитический метод

Слайд 3
Описание слайда:
Аналитический метод интегрирования не всегда может быть применен на практике. Аналитический метод интегрирования не всегда может быть применен на практике. Пример «неберущегося» интеграла:

Слайд 4
Описание слайда:
Графическая интерпретация определенного интеграла Линии ограничения: y=0; y=f(x); x=a; x=b.

Слайд 5
Описание слайда:
2. Численные методы

Слайд 6
Описание слайда:
1. Метод прямоугольников Отдельно взятая полоса представляется в виде прямоугольника шириной h. ВОПРОС: Какая величина принимается за высоту прямоугольника?

Слайд 7
Описание слайда:
А. Метод левых прямоугольников Высота - значение функции в левой точке основания каждой полосы. Формула расчета интеграла:

Слайд 8
Описание слайда:
B. Метод правых прямоугольников Высота - значение функции в правой точке основания каждой полосы. Формула расчета интеграла:

Слайд 9
Описание слайда:
С. Метод средних прямоугольников Высота - значение функции в середине основания каждой полосы. Формула расчета интеграла:

Слайд 10
Описание слайда:
Блок-схема метода средних прямоугольников

Слайд 11
Описание слайда:
2. Метод трапеций Отдельно взятая полоса представляется в виде перевернутой трапеции высотой h. Основания трапеции будут равны значениям функции в левой и правой точке высоты трапеции. Площадь трапеции:

Слайд 12
Описание слайда:
Гладкая кривая заменяется ломаной линией Гладкая кривая заменяется ломаной линией

Слайд 13
Описание слайда:
Блок-схема метода трапеций

Слайд 14
Описание слайда:
3. Метод Симпсона Гладкая функция заменяется участками парабол. Через любые 3 точки на плоскости можно провести одну и только одну параболу. Парабола проводится через точки пересечения границ 2-х соседних полос с графиком подынтегральной функции.

Слайд 15
Описание слайда:
Гладкая кривая заменяется участками парабол Гладкая кривая заменяется участками парабол

Слайд 16
Описание слайда:
Любая парабола описывается уравнением: Любая парабола описывается уравнением: y=ax2+bx+c Точки (0, y0), (h, y1), (2h, y2) лежат на одной параболе, следовательно, должны удовлетворять одной и той же функции.

Слайд 17
Описание слайда:
Подставляем координаты 3-х точек в уравнение для параболы, получаем систему линейных алгебраических уравнений. Подставляем координаты 3-х точек в уравнение для параболы, получаем систему линейных алгебраических уравнений. Здесь неизвестные - параметры параболы: a, b, c. Из 1-го уравнения: y0=c. Произведя замену, получим новую систему уравнений: Решаем полученную СЛАУ методом Крамера:

Слайд 18
Описание слайда:
Выведем формулу для расчета коэффициентов a и b:

Слайд 19
Описание слайда:
Площадь под фигуры можно вычислить, проинтегрировав полученную параболическую зависимость: Площадь под фигуры можно вычислить, проинтегрировав полученную параболическую зависимость: y=ax2+bx+c

Слайд 20
Описание слайда:
Получим: Получим: Если число разбиений будет не 2, а 4, то формула для вычисления интеграла будет иметь следующий вид:

Слайд 21
Описание слайда:
В общем виде: В общем виде: Формула Симпсона

Слайд 22
Описание слайда:
Блок-схема метода Симпсона

Слайд 23
Описание слайда:
Замечания о погрешности численного интегрирования

Слайд 24
Описание слайда:
Для оценки погрешности численного интегрирования сравним значения интеграла, рассчитанные различными численными методами с истинным значением интеграла, рассчитанным аналитически. Для оценки погрешности численного интегрирования сравним значения интеграла, рассчитанные различными численными методами с истинным значением интеграла, рассчитанным аналитически. Пример: Истинное значение: S=5

Слайд 25
Описание слайда:

Слайд 26
Описание слайда:
Из таблицы видно, что погрешность зависит от метода интегрирования и от количества разбиений интервала интегрирования. Из таблицы видно, что погрешность зависит от метода интегрирования и от количества разбиений интервала интегрирования.

Слайд 27
Описание слайда:
Зависимость погрешности численного интегрирования от числа разбиений интервала интегрирования Зависимость погрешности численного интегрирования от числа разбиений интервала интегрирования


Скачать презентацию на тему Методы численного интегрирования (нахождение определенных интегралов) можно ниже:

Похожие презентации