Нелинейные системы автоматического управления презентация

Нелинейные системы автоматического управления Нелинейной системой автоматического управления называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено описываемое нелинейным уравнением

Виды нелинейных звеньев: Виды нелинейных звеньев: звенья релейного типа идеальное реле реле с гистерезисом

идеальное реле с зоной нечувствительности идеальное реле с зоной нечувствительности реальное реле с зоной нечувствительности

звено с кусочно-линейной характеристикой звено с кусочно-линейной характеристикой усилитель с ограничением усилитель с зоной нечувствительности

звено с криволинейной характеристикой звено с криволинейной характеристикой звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных логическое звено

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам прост и универсален широко распространен в инженерной практике

Идея метода гармонической линеаризации. Условия применимости Идея метода гармонической линеаризации. Условия применимости Предполагается в системе автоколебания с амплитудой ak и частотой ωk. Сигнал на входе НЗ Сигнал на выходе НЗ

предполагается, предполагается, что сигнал y(t), пройдя через линейную часть WЛ(jω), фильтруется ею в такой степени, что в сигнале на x(t) на выходе линейной части можно пренебречь высшими гармониками x2(t), x3(t)…и считать, что Это предположение называется гипотезой фильтра.

- уравнение баланса амплитуд - уравнение баланса амплитуд - уравнение баланса фаз гармонических колебаний уравнения гармонического баланса

Решаются две группы задач: исследование периодических движений в нелинейных замкнутых системах (определение условий устойчивости и параметров ПД); исследование условий отсутствия моногармонических автоколебаний в нелинейных замкнутых системах.

Гармоническая линеаризация нелинейностей Пусть заданная нелинейная функция При выполнении гипотезы фильтра переменная x(t)  asint  sin. Разложим периодический сигнал на выходе НЗ в ряд Фурье:

Предполагаем где p=d/dt где q(a) и q'(a) – коэффициенты гармонической линеаризации

Для однозначной нелинейной характеристики F(x) коэффициент q'(a)=0. Для однозначной нелинейной характеристики F(x) коэффициент q'(a)=0. Для неоднозначной характеристики типа гистерезис q'(a)≠0 и q'(a)<0

Замена исходного нелинейного уравнения приближенным уравнением для первой гармоники называется гармонической линеаризацией Замена исходного нелинейного уравнения приближенным уравнением для первой гармоники называется гармонической линеаризацией передаточной функцией нелинейного гармонически линеаризованного звена

Исследование устойчивости периодических движений методом гармонической линеаризации Запишем уравнение замкнутой гармонически линеаризованной нелинейной САУ в операторной форме: - передаточная функция линейной части, n[R(s)]  m[Q(s)]

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной нелинейной САУ: Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной нелинейной САУ: подставим в L(s) s=jωп выделим вещественную U(aп,ωп,) и мнимую V(aп,ωп) части. по критерию Михайлова

определяются параметры ПД aп и ωп. определяются параметры ПД aп и ωп.

Если при положительном приращении амплитуды ∆a>0 кривая Михайлова займет положение 1-1, а при отрицательном приращении амплитуды ∆a<0 займет положение 2-2, то исследуемые ПД с параметрами (aп,ωп) устойчивы, т.е. в НС имеют место автоколебания. В противном случае ПД – неустойчивы, а сама нелинейная САУ устойчива в малом. Если при положительном приращении амплитуды ∆a>0 кривая Михайлова займет положение 1-1, а при отрицательном приращении амплитуды ∆a<0 займет положение 2-2, то исследуемые ПД с параметрами (aп,ωп) устойчивы, т.е. в НС имеют место автоколебания. В противном случае ПД – неустойчивы, а сама нелинейная САУ устойчива в малом.

Частотный метод исследования устойчивости ПД в НС Л. С. Голдфарба (1946 г.) Основная идея WН(a)  комплексный коэффициент передачи НЭ

s=jω s=jω решим полученное уравнение относительно неизвестных aп и ωп . Графоаналитическое решение - инверсный коэффициент гармонической линеаризации

Оба годографа и строятся на одной комплексной плоскости. Оба годографа и строятся на одной комплексной плоскости. - АФХ линейной части определяет частоту ωп ПД, - амплитуду aп ПД. ПД – устойчивы, если, двигаясь по характеристике в сторону возрастания амплитуды, переходим из неустойчивой в устойчивую область D-разбиения при устойчивой линейной части .

Критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова

линейная часть системы устойчива линейная часть системы устойчива Абсолютная устойчивость нелинейной САУ предложена в 1959 г. в работе румынского математика В. М. Попова.

Теорема. Если замкнутая система состоит из устойчивой линейной части с передаточной функцией, все полюсы которой располагаются в левой полуплоскости, и нелинейного элемента с характеристикой , лежащей в угле Теорема. Если замкнутая система состоит из устойчивой линейной части с передаточной функцией, все полюсы которой располагаются в левой полуплоскости, и нелинейного элемента с характеристикой , лежащей в угле , то достаточным условием этой системы является выполнение при всех неравенства (1) где q – произвольное вещественное число

Геометрическая интерпретация теоремы. Геометрическая интерпретация теоремы. введем видоизмененную частотную характеристику обозначим (2) (3) (4)

(4) определяет собой прямую линию на плоскости , которая проходит через точку с координатами (4) определяет собой прямую линию на плоскости , которая проходит через точку с координатами с угловым коэффициентом, равным . Теорема. САУ будет абсолютно устойчива, если на плоскости видоизмененной частотной характеристики линейной части системы можно провести прямую через точку так, чтобы располагалась справа от этой прямой. Указанную прямую принято называть прямой Попова.

Второй метод Ляпунова не требует нахождения решения дифференциального уравнения основная идея замена анализа решений нелинейных уравнений произвольного порядка на оценку свойств этих решений с помощью дифференциального неравенства

исследуется изменение «расстояния» в пространстве состояний от текущей точки системы до начала координат исследуется изменение «расстояния» в пространстве состояний от текущей точки системы до начала координат В качестве оценки расстояния можно использовать скалярную функцию, которую обозначим через V(x) фазовые траектории системы устойчивое состояние равновесия -«стягиваются»

Суть второго метода Ляпунова сводится к оценке изменения некоторой функции координат состояния системы вдоль траекторий движения Суть второго метода Ляпунова сводится к оценке изменения некоторой функции координат состояния системы вдоль траекторий движения V(x) - называют функцией Ляпунова.

Теоремы второго метода Ляпунова Теоремы второго метода Ляпунова Состояние равновесия системы является асимптотически устойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова V(x) ее полная производная в силу системы есть отрицательно определенная функция, т. е. при выполнении условий

Теорема о неустойчивости Теорема о неустойчивости Состояние равновесия системы является неустойчивым, если для положительно определенной функции Ляпунова V(x) ее полная производная в силу системы представляет собой также положительно определенную функцию. теоремы дают только достаточные условия устойчивости и неустойчивости

Пример Пример с помощью второго метода Ляпунова оценить устойчивость системы, поведение которой описывают следующие уравнения: Полагаем u = 0 и рассмотрим автономную систему

Выберем для нее в качестве функции Ляпунова следующую функцию: Выберем для нее в качестве функции Ляпунова следующую функцию: Определим теперь полную производную функции Ляпунова вдоль траектории движения автономной системы обращается в нуль не только в начале координат, но и на всей оси .

полная производная новой функции Ляпунова есть отрицательно определенная функция. Следовательно, исходная система является асимптотически устойчивой.