Обернені задачі моделювання. Моделювання фізичних процесів презентация

Обернені задачі моделювання “Моделювання фізичних процесів ”Лекція 2 Судаков О.О.

Практичні задачі моделювання Є модель, є вхідні дані, є вихідні дані Ми розглядали: як при заданих вхідних даних знайти вихідні дані на основі моделі На практиці частіше цікавить інше: при яких вхідних даних та заданій моделі отримаємо задані вихідні дані? Яка модель, що відповідає заданим вхідним та вихідним даним? При яких параметрах задачі досягається найкращий результат і що це за результат?

Де таке виникає? Томографічна реконструкція Спектроскопія Надрозрізнення Непрямі вимірювання Локація …

Нехай є математична модель

Пряма задача Пряма задача моделювання – знайти значення характеристики при певних значеннях параметрів моделі

Пряма задача термодеструкції

Пряма задача переносу рентгенівського випромінювання

Не прямі задачі Обернена задача Задача синтезу Задача оптимізації

Обернена задача Знайти вхідні параметри, при яких досягаються задані вихідні значення

Обернена задача Знайти функцію джерела термодетрукції, яка задає заданий розподіл температури при заданій геометрії Знайти значення параметрів речовини, що відповідають заданому розподілу інтенсивності – задача томографічної реконструкції

Задача синтезу Знайти модель, яка для заданих вхідних значень дає задані вихідні значення

Задача синтезу для переносу рентгенівського випромінювання Знайти яка повинна бути установка, щоб для даного об’єкту отримати заданий розподіл дози

Задача синтезу для ЯМР томографії Знайти розподіл магнітного поля (імпульсну послідовність), при якому на заданому об’єкті буде отримано заданий сигнал

Задача оптимізації Знайти всі параметри, при яких заданий цільовий функціонал має екстремум

Оптимізація При яких параметрах задачі, що реалізуються на практиці, розподіл температур не виходить за допустимі межі і дає найкращий результат При яких умовах, що практично реалізуються, доза не виходить за допустимі межі і досягається найкращий ефект

Особливості не прямих задач Може не існувати розв’язку Може існувати багато розв’язків Розв’язок (розв’язки) бути не стійкі, або не відповідати здоровому глузду

Цікавий факт Прямі задачі та задачі оптимізації найчастіше розв’язуються так, як хотілось Обернені та задачі синтезу частіше не розв’язуються так, як хотілось

Приклади нестійких задач Часто задача має розв’язок, але нестійка до вхідних даних, реальні експериментальні дані завжди мають похибку (шум): Задача спектроскопії Задача проективної томографії Розв’язання погано обумовлених та великих систем лінійних рівнянь

Задача спектроскопії

Чому ця задача нестійка?

Які ще задачі нестійкі? Інтегральні рівняння першого роду Системи лінійних рівнянь з малим визначником Числове диференціювання

Коректно та некоректно поставлені задачі Задача називається коректно поставленою (за Адамаром), якщо: Задача має розв’язок Розв’язок єдиний Задача стійка за вхідними параметрами Всі інші задачі – некоректно поставлені

Страшна проблема Питання: що робити, якщо виникла некоректна задача, яка Не має розв’язку Має багато розв’язків Розв’язок не стійкий, або не має смислу Відповідь: брати і все одно розв’язувати задачу

Розв’язання некоректних задач Звести задачу до коректно поставленої, розв’язок якої близький до розв’язку нашої задачі Часто дуже важка проблема: не скільки наука, скільки мистецтво

Співставлення за точністю Зміна задачі змінює розв’язок Реальні вхідні дані завжди мають похибку Співставлення за точністю

Деякі методи для задач оптимізації (коректних) Зворотне керування Лінійне та нелінійне програмування Методи градієнтного спуску

Градієнтний спуск

Деякі методи для зворотних задач, задач синтезу та інших некоректних Розв’язання прямої задачі шляхом підбору параметрів Регуляризація за Тихоновим Параметрична регресія Штучні нейронні мережі

Регуляризація за Тихоновим Теорема Тихонова Якщо розв’язок заданий на компакті (обмежена, щільна в собі множина [наприклад, неперервна]), то задача коректно поставлена !!!

Регуляризація за Тихоновим Задача змінюється так, щоб розв’язок був заданий на компакті і близький до розв’язку нашої задачі: Штучні обмеження на розв’зок: Неперервний Обмежений Мінімальна енергія Обмежений спектр Обмежена похідна

Приклади регуляризації за Тихоновим Метод підбору Метод квазі (псевдо) розв’язку Псевдо-обернена матриця Мура Пенроуза Метод заміни рівняння близьким до нього Метод урізаного сингулярного розвинення Метод знаходження регуляризуючого оператора Метод Лагранжа Метод ітерацій

Метод підбору

Метод псевдорозв’язку

Псевдо-обернена матриця Мура Пенроуза

Метод заміни рівняння близьким до нього

Метод урізаного сингулярного розвинення (метод головних компонент) Потужний метод для перевизначених або погано обумовлених систем лінійних рівнянь

Метод Лагранжа Задача замінюється варіаційної

Нормальний розв’язок системи лінійних рівнянь

Метод ітерацій

Метод параметричної регресії Створюється проста модель з невідомими параметрами Параметри підбираються так, щоб задовольнити умовам задачі Підходить як для зворотних задач так і для задач синтезу

Задача При томографії твердого тіла час поперечної релаксації дуже малий Чи можна зменшити вплив уширення лінії за рахунок релаксації Чи можна за одним сигналом відновити як час поперечної релаксаціі так і спінову густину?

Реконструкція спінової густини і часу поперечної релаксації за сигналом Фур’є томографа Є сигнал томографа. Чи можна за одним сигналом відновити як час поперечної релаксаціі так і спінову густину?

Дискретизація задачі Час і просторові координати замінюємо дискретним набором параметрів

Розв’язок Рівняння замінюємо варіаційною задачею на екстремум

Метод Проні Прямий розв’язок варіаційної задачі складний, оскільки рівняння нелінійні Треба хитро Метод Проні (1796 р)

Метод Проні

Результати

Результати

Висновки Зворотні задачі та задачі синтезу – некоректні Для розв’язку таких задач накладаються додаткові умови Розв’язок некоректної задачі може бути дуже наближеним Отримання хороших результатів – не скільки наука, скільки мистецтво

Питання