Презентация, доклад Оценки параметров генеральной совокупности


Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Оценки параметров генеральной совокупности. Презентация на заданную тему содержит 32 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Презентации» Математика» Оценки параметров генеральной совокупности
Дисциплины:  «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Теория вероятностей и математическая статистика»
Домашнее задание (проверка)
 16. Для вариационного ряда
 Найдем математическое ожидание, дисперсию,Точечные оценки параметров
 Пусть случайная величина Х имеет закон распределения, зависящийТочечные оценки параметров
 Оценки   называются точечными, так как ониТочечные оценки параметров
 выборочная доля является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкойПример 1:
 Из 1500 деталей отобрано 250, распределение которых по размеруПример 1 (продолжение):
 Вычислим дисперсию оценки среднего:
 для повторной выборки: 
Пример 2:
 Выборочно обследовали партию кирпича. Из 100 проб в 12Метод наименьших квадратов для нахождения точечных оценок:
 Исследуется зависимость двух случайныхПример 3:
 Найти оценки параметров a и b по результатам выборочногоПример 3 (продолжение):
 Разделим оба равенства на n и обозначим выборочныеИнтервальные оценки параметров
 Интервальная оценка параметра дает возможность определить точность иИнтервальные оценки параметров
 Обычно доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки 1. Доверительный интервал для  генеральной средней а
 а) для повторнойПример 4:
 Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшеницыПример 5:
 Выборочное среднее квадратическое отклонение десяти измерений некоторой величины равноПример 6:
 Из партии в 5000 электрических ламп было отобрано 3002. Доверительный интервал для генеральной доли признака р:
 а) для повторнойПример 7:
 В партии, содержащей 5000 изделий, проверено 400. Среди нихПример 8:
 Среди стандартных изделий одной фабрики в среднем 15% относится3. Доверительный интервал для генеральной дисперсии 
 Где   иПример 9:
 Признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Имеется выборка вПример 9 (продолжение):
 По условию задачи n=20, γ=0,99. 
 Доверительный интервал4. Объем выборки n, необходимый для достижения требуемой надежности γ
 ПриПример 10:
 Найти объемы повторной и бесповторной выборок из 10000 банокПример 10 (продолжение):
 Для бесповторной выборки объем равен
 В этом случаеТестовые вопросы
 1. Характеристикой оценок числовых характеристик по результатам выборочных значенийТестовые вопросы
 3. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 12.Тестовые вопросы
 5. В результате измерений некоторой физической величины одним приборомПриложение: Значения Ф(х)Задачи для самостоятельного решения
 1. С целью определения средней суммы вкладовЗадачи для самостоятельного решения
 4. Сколько лиц в возрасте от 19



Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Дисциплины: «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Теория вероятностей и математическая статистика» Тема: Оценки параметров генеральной совокупности


Слайд 2
Описание слайда:
Домашнее задание (проверка) 16. Для вариационного ряда Найдем математическое ожидание, дисперсию, вариацию:

Слайд 3
Описание слайда:
Точечные оценки параметров Пусть случайная величина Х имеет закон распределения, зависящий от параметра θ (тэта): F(x,θ). О величине параметра можно судить по конечной выборке из генеральной совокупности. Оценкой параметра θ называется любая функция от значений выборки , т.е. статистика. Статистику можно рассматривать как случайную величину. Ее нужно выбирать таким образом, чтобы ее значения точнее оценивали значение неизвестного параметра θ. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание . Для несмещенных оценок устраняется возможность появления систематической ошибки при оценивании параметра θ. Оценка называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. предел по вероятности . Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра, т.е. дисперсия

Слайд 4
Описание слайда:
Точечные оценки параметров Оценки называются точечными, так как они оценивают одно численное значение параметра (точку). Пусть генеральные параметры распределения для случайной величины Х будут (математическое ожидание) и (дисперсия). Тогда для повторной выборки: выборочное среднее является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой параметра а: выборочная дисперсия является смещенной, состоятельной оценкой параметра : , причем исправленная выборочная дисперсия является несмещенной, состоятельной оценкой параметра :

Слайд 5
Описание слайда:
Точечные оценки параметров выборочная доля является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли р: Для указанных оценок справедливы формулы: Для повторной выборки дисперсии Для бесповторной выборки дисперсия

Слайд 6
Описание слайда:
Пример 1: Из 1500 деталей отобрано 250, распределение которых по размеру Х задано в таблице: Найти точечные оценки для среднего и дисперсии, а также дисперсию оценки среднего при повторном и бесповторном отборах. Решение. Вычислим по формулам (используем середины интервалов сi, число интервалов r=6, объем выборки n=250):

Слайд 7
Описание слайда:
Пример 1 (продолжение): Вычислим дисперсию оценки среднего: для повторной выборки: для бесповторной выборки

Слайд 8
Описание слайда:
Пример 2: Выборочно обследовали партию кирпича. Из 100 проб в 12 случаях кирпич оказался бракованным. Найти оценку доли бракованного кирпича и дисперсию этой оценки. Решение. По условию задачи число бракованных изделий m=12, объем выборки n=100, тогда оценкой доли бракованных является выборочная доля Дисперсия этой оценки для повторной выборки равна А среднее квадратическое отклонение этой оценки равно

Слайд 9
Описание слайда:
Метод наименьших квадратов для нахождения точечных оценок: Исследуется зависимость двух случайных величин Y и Х по их выборкам и . Пусть выбранный вид функции ϕ, устанавливающей эту зависимость, содержит параметры , i=1,2,…,k, тогда их оценки выбираются так, чтобы функция принимала минимальное значение. Из необходимого условия экстремума следует решение системы уравнений:

Слайд 10
Описание слайда:
Пример 3: Найти оценки параметров a и b по результатам выборочного наблюдения, если связь между случайными величинами Y и X линейна: . Объем выборки равен n. Решение. Используем метод наименьших квадратов. Построим функцию и найдем ее минимум. Вычислим частные производные и положим их равными нулю: Решим эту систему относительно a и b:

Слайд 11
Описание слайда:
Пример 3 (продолжение): Разделим оба равенства на n и обозначим выборочные средние: Тогда получим систему линейных алгебраических выражений: Эту систему можно решить любым известным методом (Гаусса, Кремера, матричным): Окончательно получим оценки:

Слайд 12
Описание слайда:
Интервальные оценки параметров Интервальная оценка параметра дает возможность определить точность и надежность его оценки. Интервальной оценкой параметра θ называется интервал (α,β), который с заданной вероятностью γ (гамма) накрывает неизвестное значение этого параметра. Интервал (α,β) называется доверительным интервалом, вероятность γ - доверительной вероятностью или уровнем надежности.

Слайд 13
Описание слайда:
Интервальные оценки параметров Обычно доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки , т.е. имеет вид , где Δ - предельная ошибка выборки. Причем вероятность . Рассмотрим генеральную совокупность объема N и выборку из нее . Для нее имеем: выборочное среднее – выборочную дисперсию – выборочную долю признака – которым в выборке обладают m элементов. Рассмотрим следующие интервальные оценки:

Слайд 14
Описание слайда:
1. Доверительный интервал для генеральной средней а а) для повторной выборки б) для бесповторной выборки Величина t определяется: при n>30 из функции Лапласа Ф(t)=γ, при n≤30 из вероятности , где ξ имеет распределение Стьюдента для (n-1) степени свободы.

Слайд 15
Описание слайда:
Пример 4: Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшеницы было отобрано 625 зерен, обследование которых показало, что выборочное среднее равно 16,8, а выборочная дисперсия равна 4. Чему равна с вероятностью 0,988 предельная ошибка выборки? Решение. По условию задачи . Так как генеральная совокупность бесконечна, то используем формулу для повторной выборки при определении предельной ошибки: Значение t найдем из условия Ф(t)=γ, т.е. Ф(t)=0,988. По таблице значений функции Лапласа найдем: t=2,51. Найдем предельную ошибку

Слайд 16
Описание слайда:
Пример 5: Выборочное среднее квадратическое отклонение десяти измерений некоторой величины равно 10 см. Найти с надежностью γ=0,6 предельную ошибку выборки. Решение. Здесь n=10<30 и выборка повторная, S=10. По таблицам распределения Стьюдента для γ=0,6 и степени свободы n-1=9 находим t=0,88. Тогда получим предельную ошибку выборки

Слайд 17
Описание слайда:
Пример 6: Из партии в 5000 электрических ламп было отобрано 300 по схеме бесповторной выборки. Средняя продолжительность горения ламп в выборке оказалась равной 1450 часам, а дисперсия – 4000. Найти доверительный интервал для среднего срока горения лампы с надежностью 0,9996. Решение. По условию задачи γ=0,9996 и объем выборки n=300>30, тогда по таблице значений функции Лапласа находим t из условия Ф(t)=0,9996: t=3,57. Применим формулу , где и вычислим предельную ошибку Искомый доверительный интервал будет равен:

Слайд 18
Описание слайда:
2. Доверительный интервал для генеральной доли признака р: а) для повторной выборки б) для бесповторной выборки Величина t определяется из функции Лапласа Ф(t)=γ.

Слайд 19
Описание слайда:
Пример 7: В партии, содержащей 5000 изделий, проверено 400. Среди них оказалось 300 изделий высшего сорта. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для доли изделий высшего сорта в случаях повторной и бесповторной выборок. Решение. По условию задачи имеем: По значению функции Лапласа Ф(t)=0,95 определим t=1,96. 1) Для повторной выборки предельная ошибка доли равна Тогда доверительный интервал равен: 2) Для бесповторной выборки предельная ошибка доли равна Тогда доверительный интервал равен:

Слайд 20
Описание слайда:
Пример 8: Среди стандартных изделий одной фабрики в среднем 15% относится ко второму сорту. С какой вероятностью можно утверждать, что процент изделий второго сорта среди 1000 стандартных изделий данной фабрики отличается от 15% не более чем на 2%? Решение. По условию задачи имеем n=1000, w=15%/100%=0,15, Δ=2%/100%=0,02. Требуется найти вероятность Найдем t из формулы , тогда Используя значения из таблицы функции Лапласа найдем

Слайд 21
Описание слайда:
3. Доверительный интервал для генеральной дисперсии Где и определяются из условия Обычно они определяются так, чтобы Тогда по таблице распределения Хи-квадрат со степенью свободы (n-1) они определяются из условий

Слайд 22
Описание слайда:
Пример 9: Признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Имеется выборка в виде таблицы Найти доверительный интервал, накрывающий среднее квадратическое отклонение с вероятностью 0,99. Решение. Вычислим выборочные характеристики:

Слайд 23
Описание слайда:
Пример 9 (продолжение): По условию задачи n=20, γ=0,99. Доверительный интервал для генеральной дисперсии равен: Где и определяются из условий: Т.е. Найдем по таблицам критерия Пирсона (Хи-квадрат) величины (меньше табличного 7,63 для вероятности 0,99), (больше табличного 36,2 для вероятности 0,01),

Слайд 24
Описание слайда:
4. Объем выборки n, необходимый для достижения требуемой надежности γ При параметре а повторная выборка – бесповторная выборка – 2) При параметре р повторная выборка – бесповторная выборка – Замечание: При N→ в бесконечность, формулы для бесповторной выборки совпадут с формулами для повторной выборки.

Слайд 25
Описание слайда:
Пример 10: Найти объемы повторной и бесповторной выборок из 10000 банок консервов для определения доли банок, не соответствующих стандарту. Предполагается, что предельная ошибка выборки не превосходит 0,05 с доверительной вероятностью 0,9995. Решение. По условию задачи N=10000, Δ=0,05, γ=0,9995. По таблице значений функции Лапласа Ф(t)=0,9995 найдем t=3,5. 1) Для повторной выборки объем равен Так выборочная доля w по условию задачи неизвестна, тогда выберем его таким, чтобы выражение w(1-w) было максимальным. Это условие достигается при w=0,5 (вычислим производную функции и положим ее равной нулю: (w(1-w))’=1-2w=0 ). Тогда завышенное значение n будет равно n=4900*0,5*0,5=1225.

Слайд 26
Описание слайда:
Пример 10 (продолжение): Для бесповторной выборки объем равен В этом случае наибольшее значение выражения w(1-w) соответствует максимальному n. Положим w=0,5, тогда Вопрос: Для расчета средней арифметической статистической совокупности используется формула (n – объем выборки, xi – выборочные значения): 1) 2) 3)

Слайд 27
Описание слайда:
Тестовые вопросы 1. Характеристикой оценок числовых характеристик по результатам выборочных значений является: а) репрезентативность оценки; б) несмещенность оценки; в) сходимость любой оценки к математическому ожиданию теоретического распределения; г) независимость оценки от объема выборки. 2. Определение искомой характеристики генеральной совокупности внутри какого-то интервала с заданной вероятностью, называется а) интервальной оценкой; б) точечной оценкой; в) выборочной оценкой; г) качественной оценкой.

Слайд 28
Описание слайда:
Тестовые вопросы 3. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 12. Тогда его интервальная оценка может иметь вид … а) (10,6; 13,4) б) (12; 13,7) в) (10,8; 12) г) (11,2; 11,8) 4. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 15. Тогда его интервальная оценка может иметь вид... а) (13,8; 15) б) (13,8; 16,2) в) (15; 16,2) г) (13,8; 14,1)

Слайд 29
Описание слайда:
Тестовые вопросы 5. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 10, 13, 13. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна: а) 6; б) 2; в) 12; г) 3. 6. По городской телефонной сети было произведено 100 наблюдений и установлено, что средняя продолжительность телефонного разговора составляет 4 минут при среднеквадратичном отклонении 2 мин. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 составляет а) 0,2; б) 0,3; в)  0,4; г) 0,5.

Слайд 30
Описание слайда:
Приложение: Значения Ф(х)

Слайд 31
Описание слайда:
Задачи для самостоятельного решения 1. С целью определения средней суммы вкладов Q в банке, имеющем 2200 вкладчиков, проведено выборочное обследование (бесповторный отбор), результаты которого имеют вид: Найти с вероятностью 0,96 доверительные границы для Q. 2. При формировании портфеля поставок был произведен случайный повторный отбор 100 поставщиков, осуществлявших поставки ранее. Для процента w несвоевременно отгрузивших сырье поставщиков необходимо определить доверительные границы на уровне 0,997, если в выборке оказалось 25 таких поставщиков. 3. В выборке объемом 500 единиц, произведенной для определения процента всхожести семян, установлена частость доброкачественных семян 0,94. Найти вероятность процента всхожести, если допустимая погрешность в его определении равна 2%.

Слайд 32
Описание слайда:
Задачи для самостоятельного решения 4. Сколько лиц в возрасте от 19 до 24 лет надо опросить, чтобы установить средний процент студентов с точностью до 0,5%? 5. Определить численность выборки при обследовании остатков на расчетных счетах у клиентов банка, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка равнялась 5 усл. ед., если усл. ед. 6. Из 2500 ящиков продукции было проверено 10%. Среди них оказалось 80% ящиков с продукцией первого сорта. Найти границы, в которых с вероятностью 0,996 заключена доля ящиков с продукцией первого сорта. 7. По данным 10 измерений некоторой величины найдено ее выборочное среднее значение 20 и выборочная исправленная дисперсия 25. Найти границы, в которых с вероятностью 0,99 заключено истинное значение измеряемой величины. Найти с вероятностью 0,99 доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности этой величины.


Скачать презентацию на тему Оценки параметров генеральной совокупности можно ниже:

Похожие презентации