Определение.Модуль числа а. презентация

Определение Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна –а, если а меньше нуля:

Геометрическая интерпретация |а| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета. Если а 0, то на координатной прямой существует две точки а и –а, равноудаленные от нуля, модули которых равны. Если а=0, то на координатной прямой |а| изображается точкой 0.

Пример 1. Решить неравенство: Решение. Рассмотрим четыре случая. 1) 3) 2) 4) Объединим эти решения: Ответ:

Пример 2. Решить уравнение: Решение. Пусть . Тогда уравнение примет вид . Воспользуемся геометрическим смыслом модуля: найдем все точки числовой оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек 0 и 4 равна 10. Ответ: {-4, -2, 1, 3}

Пример 3: Решить уравнение: Решение: Уравнение равносильно следующему: Пусть t =|x-2|, t ≥ 0. Тогда , и уравнение примет вид: Но t ≥ 0, поэтому t = 1, откуда Ответ: {1, 3}

Пример 4. Решить уравнение (неравенство): а) б) в) г) д)

Решение: а) Так как обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат является равносильным преобразование: Решение: а) Так как обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат является равносильным преобразование: а) Решим последнее неравенство методом интервалов: Ответ:

б) Ответ: {2, 6}

в) Решим второе неравенство последней совокупности методом интервалов: Объединяя найденные решения с решением неравенства , получим ответ. Ответ:

г) (1) (2) Решим (1) методом интервалов: Решим (2) методом интервалов: Найдем пересечение решений: Ответ:

д) Перепишем уравнение (так как |-a|=|a|): Из свойства 10: Тогда уравнение равносильно неравенству:

Ответы для самоконтроля 1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . 2. а) ; б) ; в) ; г) . 3. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) ; р) ; с) . 4. а) ; б) ; в) ; г) . 5. а) ; б) ; в) ; г) . 6. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п)