Полиномы от нескольких переменных. Нахождение НОД. (Лекция 5.1) презентация

Полиномы от нескольких переменных Нахождение НОД

Определения Содержанием p ( обозначаемое cont(p)) называется НОД всех его коэффициентов. Если содержание полинома равно единице, то полином называется примитивным. Примитивная часть полинома p, обозначаемая pp(p), определяется так: pp(p)=p/cont(p).

Лемма (Гаусса) Пусть p и q – два полинома из кольца K[x]. Тогда cont(p·q) = cont(p)·cont(q), pp(p·q)=pp(p)·pp(q).

Следствие Пусть p и q – два полинома из кольца K[x]. Тогда cont НОД (p,q)= НОД (cont(p),cont(q)), pp(НОД (p,q))=НОД(pp(p),pp(q)). НОД (p,q)=НОД(pp(p),pp(q))· ·НОД (cont(p),cont(q)).

Алгоритм алг Главный; алг НОД (a,b,r) если r=0 то НОД (a,b,О)=1 иначе aс:=содержание (a,r); aр:=a/aс; bс:=содержание (b,r); bр:=b/bс; d:=Евклид(ap, bp, r) d:=содержание(d,r), dp:=d/dc; Выход dp * НОД(aс, bс,r-1);

алг содержание (А,r); i=0; Результат:=коэфф(А,xr,i); Цикл пока Рузультат1 и i<степень(А,xr) i=i+1; Результат:=НОД(Результат, коэфф(А,xr,i),r-1); Выход Результат {Главная часть} ввод (А,В,r); вывод (НОД(А,В,r));

Операторы, встречающиеся в алгоритме: содержание (a,r) – определяет содержание полинома по переменной с номером r; это будет полином от переменных ; aр - примитивная часть полинома a; это будет полином от переменных , Евклид (ap,bp,r) – алгоритм Евклида применяется к полиномам ap и bp по переменной с номером r; коэфф (a,xr,i) – выбирает в полиноме A коэффициент при ; степень (A,xr) – максимальная степень, в которой переменная xr встречается в полиноме A.