Распределение газовых молекул по скоростям и энергиям презентация

1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна 2. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям 3. Функция распределения Максвелла 4. Барометрическая формула 5. Распределение Больцмана 6. Закон распределения Максвелла-Больцмана

1. Скорости газовых молекул. Опыт Штерна В средине XIX века была сформулирована молекулярно-кинетическая теория, но тогда не было никаких доказательств существования самих молекул. Вся теория базировалась на предположении о движении молекул, но как измерить скорость их движения, если они невидимы.

Теоретики первыми нашли выход. Из уравнения молекулярно-кинетической теории газов известно, что Отсюда среднеквадратичная скорость равна:

Например, при плотности азота, равной 1,25 кг/м3, при t = 0 С и , скорости молекул азота . Для водорода:

Опыт Штерна Схема установки О. Штерна

Платиновая нить А, покрытая снаружи серебром, располагается вдоль оси коаксиальных цилиндров S1, S3. Внутри цилиндров поддерживается низкое давление порядка Па. При пропускании тока через платиновую нить она разогревается до температуры выше точки плавления серебра (961,9 С). Серебро испаряется, и его атомы через узкие щели в цилиндре S1 и диафрагме S2 летят к охлаждаемой поверхности цилиндра S3, на которой они могут осаждаться. Если цилиндры S1, S3 и диафрагма не вращаются, то пучок осаждается в виде узкой полоски D на поверхности цилиндра S3.

Опыт Штерна Если же вся система приводится во вращение с угловой скоростью то изображение щели смещается в точку D и становится расплывчатым.

Пусть l – расстояние между D и D/, измеренное вдоль поверхности цилиндра S3, где – линейная скорость точек поверхности цилиндра S3, радиусом R;  время прохождения атомами серебра расстояния . Таким образом, имеем откуда – можно определить величину скорости теплового движения атомов серебра:

Температура нити в опытах Штерна равнялась 1200С, что соответствует среднеквадратичной скорости молекул серебра В эксперименте получился разброс значений скорости от 560 до 640 м/с. Кроме того, изображение щели D всегда оказывалось размытым, что указывало на то, что атомы Ag движутся с различными скоростями.

Ещё в XIX веке Дж. Максвелл утверждал, что молекулы, беспорядочно сталкиваясь друг с другом, как-то «распределяются» по скоростям, причём вполне определённым образом.

2. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям 2. Вероятность события. Понятие о распределении молекул газа по скоростям С точки зрения атомно-молекулярного строения вещества величины, встречающиеся в макроскопической физике, имеют смысл средних значений, которые принимают некоторые функции от микроскопических переменных системы. Величины такого рода называются статистическими. Примерами таких величин являются давление, температура, плотность и др.

Математическое определение вероятности: вероятность какого-либо события – это предел, к которому стремится отношение числа случаев, приводящих к осуществлению события, к общему числу случаев, при бесконечном увеличении последних: Здесь n  число раз, когда событие произошло, а n  общее число опытов. Отсюда следует, что Р может принимать значения от нуля до единицы.

Молекулы движутся хаотически. Среди них есть и очень быстрые, и очень медленные. Благодаря беспорядочному движению и случайному характеру их взаимных столкновений, молекулы определённым образом распределяются по скоростям. Это распределение оказывается однозначным и единственно возможным, и не только не противоречит хаотическому движению, но именно им и обусловлено.

Таким образом, f(υ) – имеет смысл вероятности, то есть показывает, какова вероятность любой молекулы газа в единице объёма иметь скорость, заключённую в единичном интервале, включающем заданную скорость υ. В данном случае f(υ) называют плотностью вероятности.

3. Функция распределения Максвелла 3. Функция распределения Максвелла Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям.

Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-ой составляющей скорости), имеем тогда или

Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-ым компонентам скорости. Очевидно, что и по y–ым и z–ым компонентам скорости также можно получить:

Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x – компонента скорости лежит в интервале от υх до ; y – компонента, в интервале от υy до ; z – компонента, в интервале от υz до будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности: где

Или Этой формуле можно дать геометрическое истолкование: dnxyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dυx, dυy, dυz, то есть в объёме находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.

Объём этого шарового слоя: Общее число молекул в слое:

Отсюда следует закон Максвелла – распределение молекул по абсолютным значениям скоростей: где – доля всех частиц единичного объёма, скорости которых лежат в интервале от υ до

При получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям: Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременно иметь определенное значение. Классическое описание возможно, если выполнены условия:

Здесь – фундаментальная константа (постоянная Планка), определяющая масштаб квантовых (микроскопических процессов). Таким образом, если частица находится в объеме , то в этом случае возможно описание ее движения на основе законов классической механики.

Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц. Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.

Средняя арифметическая скорость  υср где – число молекул со скоростью от υ до . Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим: – для одной молекулы. – для одного моля газа.

Формула Максвелла для относительных скоростей Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах. Относительную скорость обозначим через u: где

Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено весом выше лежащих слоёв газа. Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено весом выше лежащих слоёв газа. Пусть P – давление на высоте h, а – на высоте

Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле в условиях теплового равновесия. Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле в условиях теплового равновесия. Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил, в условиях теплового равновесия. При этом, концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия.

Отсюда получим функцию распределения молекул по энергиям теплового движения: Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:

Обозначим E=U+K – полная энергия. Тогда Это закон распределения Максвелла-Больцмана. Здесь n0 – число молекул в единице объёма в той точке, где ; .

где Ni – число частиц, находящихся в состоянии с энергией Еi, а А – коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию: где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.

Тогда, окончательное выражение распределения Максвелла-Больцмана для случая дискретных значений будет иметь вид: