Решение тригонометрических уравнений и способы отбора корней на заданном промежутке презентация

Решение тригонометрических уравнений и способы отбора корней на заданном промежутке

Обязательный минимум знаний

Обязательный минимум знаний

Обязательный минимум знаний

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений

Устные упражнения Вычислите arcsin ½ arcsin (- √2/2) arccos √3/2 arccos (-1/2) arctg √3 arctg (-√3/3)

Различные способы отбора корней

Различные способы отбора корней

Различные способы отбора корней

Различные способы отбора корней

1. Решить уравнение 72cosx = 49sin2x и указать его корни на отрезке [; 5/2]

2. Решить уравнение 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 Найти его корни на отрезке [3; 92]

Проведем отбор корней на отрезке [3; 92] (с помощью графиков)

3. Решить уравнение 4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x Найти его корни на отрезке [0; 1]

Проведём отбор корней на отрезке [0; 1]

4. Решить уравнение log5(cos x – sin 2x + 25) = 2 Найти его корни на отрезке [2; 7/2]

5. Решить уравнение 1/sin2x + 1/sin x = 2 Найти его корни на отрезке [-5/2; -3/2]

6. Решить уравнение |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Найти его корни на отрезке [-1; 8] Решим уравнение |sin x|/sin x + 2 = 2cos x 1)Если sin x >0, то |sin x| =sin x Уравнение примет вид: 2 cos x=3, cos x =1,5 – не имеет корней 2) Если sin x <0, то |sin x| =-sin x и уравнение примет вид 2cos x=1, cos x = 1/2, x = ±π/3 +2πk, kZ Учитывая, что sin x < 0, то остаётся одна серия ответа x = - π/3 +2πk, kZ

7. Решить уравнение 4sin3x=3cos(x- π/2) Найти его корни на промежутке [7/2; 9/2) Решим уравнение 4sin3x = 3cos(x- π/2) 4sin3x = 3cos(π/2-х), 4sin3x - 3cos(π/2-х) = 0, 4sin3x – 3sin x = 0, sin x (4sin2x – 3) = 0, sin x= 0 x= n, nZ

Объединим решения ( см. рисунок) Уравнение можно решить короче, зная формулу sin 3x = 3sinx – 4sin3x: 4sin3x – 3sin x =0, 3sin x – 4sin3x =0, sin 3x = 0, х = m/3, mZ

Проведём отбор корней на промежутке [7/2; 9/2) х= m/3, mZ. 7/2 ≤ m/3 < 9/2, 21/2 ≤ m<27/2, mZ, 10,5 ≤ m < 13,5, mZ, m =10; 11; 12, x= 10/3, x= 11/3, x= 12/3 Ответ : а) m/3, mZ; б) 10/3; 11/3; 12/3

8. Решить уравнение √1-sin2x= sin x Найти его корни на промежутке [5/2; 4] Решим уравнение √1-sin2x= sin x. sin x ≥ 0, 1- sin2x = sin2x; sin x ≥ 0, sin x≥0, 2sin2x = 1; sin x =√2/2; sin x = - √2/2; sin x =√2/2 sin x =√2/2 x=(-1)k /4 + k, kZ

Проведём отбор корней на отрезке [5/2; 4] x=(-1)k /4 + k, kZ sin x =√2/2 у =sin x и у=√2/2 5/2 + /4 = 11/4 Ответ: а) (-1)k /4 + k, kZ ;б) 11/4

9. Решить уравнение (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 Найти его корни на промежутке [-5; -7/2] Решим уравнение (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0. 1) ОДЗ : cos x <0 , /2 +2n<x< 3/2+2n, nZ 2) sin2x + 2 sin2x =0, 2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0, sin x (cos x+ sin x) =0, sin x=0, x= n, nZ

Отберём корни на заданном отрезке Отберём корни на заданном отрезке [-5; -7/2] x=  +2n, nZ ; -5 ≤  +2n ≤ -7/2, -5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1, -3≤ n ≤ -9/4, nZ n = -3, x=  -6 = -5

10. Решить уравнение 2sin2x =4cos x –sinx+1 Найти его корни на промежутке [/2; 3/2] Решим уравнение 2sin2x = 4cos x – sinx+1 2sin2x = 4cos x – sinx+1, 4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0, 4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0, (sin x – 1)(4cos x +1)=0, sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2n, nZ или 4cos x +1= 0, cos x = -0,25 x = ± (-arccos (0,25)) + 2 n, nZ Запишем корни этого уравнения иначе x =  - arccos(0,25) + 2 n, x = -( - arccos(0,25)) + 2n, nZ

Отберём корни с помощью окружности x = /2+2n, nZ, х = /2; x = -arccos(0,25)+2 n, х=-(-arccos(0,25)) +2 n, nZ, x =  - arccos(0,25), x =  + arccos(0,25) Ответ: а) /2+2n, -arccos(0,25)+2 n, -(-arccos(0,25)) +2 n, nZ; б) /2; -arccos(0,25);+arccos(0,25)