Презентация, доклад Случайные величины (лекция 4)


Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Случайные величины (лекция 4). Презентация на заданную тему содержит 18 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Презентации» Математика» Случайные величины (лекция 4)
Математические методы в биологии
 Блок 2. Случайные величины
 Лекция 4Задача о счастливом билетеЗная рекуррентное соотношение и для всех , 
 Зная рекуррентное соотношениеЧисловые характеристики дискретной случайной величины
 Математическое ожидание 
 Две д.с.в. сФормула для вычисления дисперсии
 Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадратаСвойства дисперсии
 Дисперсия постоянной величины равна 0: 
 Доказательство. 
 ПостоянныйДисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях
 n независимых испытаний
 СобытиеСреднее квадратическое отклонение
 Определение. Среднее квадратическое отклонение случайной величины – этоОт дискретности – к непрерывности!
 Закон распределения дискретной с.в. можно задатьПлотность распределения вероятностей с.в. (только для непрерывных!)
 Плотность распределения вероятностей –Законы распределения н.с.в.
 Равномерный закон распределения вероятностей
 Распределение вероятностей называют равномерным,2. Нормальный (гауссовский) закон распределения вероятностей
 2. Нормальный (гауссовский) закон распределенияЕщё о нормальном распределении
 Правило одной сигмы:
 Непрерывная случайная величина, распределённаяЗаконы распределения н.с.в.
 3. Распределение «хи-квадрат» (χ2)
 Распределение «хи-квадрат» – распределениеЗаконы распределения н.с.в.
 4. Распределение Стьюдента
 Пусть z – нормальная стандартная5. Распределение Фишера
 5. Распределение Фишера
 Пусть U и V –Резюме
  - определение дисперсии д.с.в.
  - удобная формула для



Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Математические методы в биологии Блок 2. Случайные величины Лекция 4


Слайд 2
Описание слайда:
Задача о счастливом билете

Слайд 3
Описание слайда:

Слайд 4
Описание слайда:
Зная рекуррентное соотношение и для всех , Зная рекуррентное соотношение и для всех , составим таблицу для . Например, Назад к вероятности: Для 2х-знач. билетов Для 4х-знач. билетов Для 6ти-знач. билетов Для 8ми-знач. билетов Для 6ти-знач. билетов в среднем каждый 18й билет является счастливым!

Слайд 5
Описание слайда:
Числовые характеристики дискретной случайной величины Математическое ожидание Две д.с.в. с одинаковым мат.ожиданием: Дисперсия (dispersion - рассеяние) – мера изменчивости случайной величины. Это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: ВОПРОС: Откуда квадрат?? OK, пусть без квадрата: Вычисление дисперсии «в лоб»:

Слайд 6
Описание слайда:
Формула для вычисления дисперсии Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом математического ожидания X: Доказательство. [ Пример.

Слайд 7
Описание слайда:
Свойства дисперсии Дисперсия постоянной величины равна 0: Доказательство. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии возведённым в квадрат: Доказательство. Дисперсия суммы взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий Доказательство для двух слагаемых. Доказательство:

Слайд 8
Описание слайда:
Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях n независимых испытаний Событие A появляется в каждом из них с вероятностью p Дискретная случайная величина X – число появления события A в этих испытаниях ВОПРОС: Чему равна дисперсия случайной величины X - числа появлений события A в испытаниях? ОТВЕТ: Дисперсия числа появлений события A в n испытаниях равно произведению n на p на (1-p): D(X)=n*p*(1-p) Доказательство: Пусть X1 – число появления события A в первом испытании, X2 – во втором и.т.д, Xn – в n-ом. Всего событие A появилось X1+X2+…+Xn раз. По свойству дисперсии суммы, D(X)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn). Распишем D(X1), D(X2),…D(Xn): D(X1)=M(X12)-(M(X1))2 Дискретная случайная величина X12 (как и X1) принимает значение 1 с вероятностью p (событие случилось) и значение 0 с вероятностью (1-p) (событие не случилось). Поэтому D(X1)=1*p+0*(1-p)-(1*p+0*(1-p))2=p-p2=p(1-p). И так для каждого n, поэтому D(X)=n*p*(1-p). Данная случайная величина X распределена по биномиальному закону, поэтому можно сказать, что ДИСПЕРСИЯ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ N И P РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ N*P*(1-P).

Слайд 9
Описание слайда:
Среднее квадратическое отклонение Определение. Среднее квадратическое отклонение случайной величины – это квадратный корень из её дисперсии. Среднее квадратическое отклонение позволяет сохранить размерность случайной величины Типовая задача на вычисление мат.ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины. Пусть случайная величина X имеет следующий закон распределения: Найти M(X),D(X) и

Слайд 10
Описание слайда:
От дискретности – к непрерывности! Закон распределения дискретной с.в. можно задать таблично, перечислив все её значения. Закон распределения непрерывной с.в., принимающей любые значения на промежутке [a,b], так задать нельзя! Что же делать? Введём понятие функции распределения вероятностей случайной величины. Определение. Функция распределения F(x), x – любое действительное число – такая функция, которая определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x: Значения такой функции лежат на отрезке [0,1], а сама функция неубывающая. Функцию распределения вероятностей можно задать не только для непрерывной, но и для дискретной с.в.! Пример. Дискретная с.в. распределена по закону: Определим функцию её распределения. F(x)=0 для x≤1 (X не принимает значения, меньшие 1) F(x)=0,3 для 1<x≤4 (X может принять значение 1 с вероятностью 0,3) F(x)=0,4 для 4<x≤8 (X может принять значение 1 с вероятностью 0,3 или значение 4 с вероятностью 0,1) F(x)=1 для x>8 (все значения д.с.в. лежат левее 8 на числовой оси)

Слайд 11
Описание слайда:
Плотность распределения вероятностей с.в. (только для непрерывных!) Плотность распределения вероятностей – первая производная от функции распределения (функция распределения – первообразная плотности) Тогда вероятность того, что непрерывная с.в. примет значение на интервале (a,b), равна интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b: Или, геометрически: вероятность того, что н.с.в. примет значение на интервале (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной: Кривой плотности распределения сверху Осью абсцисс – снизу Прямыми x=a и x=b – слева и справа На картинке a=-1,11 и b=1,1 Вероятность того, что н.с.в. примет знач. на (-1,11, 1,11), равна 0,731.

Слайд 12
Описание слайда:
Законы распределения н.с.в. Равномерный закон распределения вероятностей Распределение вероятностей называют равномерным, если на отрезке [a,b], которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения вероятностей сохраняет постоянное значение, равное 1/(b-a) Пример. Пусть с.в. X принимает с одинаковой вероятностью любое значение на отрезке [a,b]. Тогда её функция распределения F(x) выглядит так: F(x)=0, если x≤a, F(x)=1, если x>b F(x)=, если a<x≤b

Слайд 13
Описание слайда:
2. Нормальный (гауссовский) закон распределения вероятностей 2. Нормальный (гауссовский) закон распределения вероятностей Случайная величина X определена на всей оси абсцисс Два параметра: μ (мат. ожидание) и σ (среднее квадратическое отклонение) Нормальное распределение – то распределение, плотность которого задаётся формулой Гаусса:

Слайд 14
Описание слайда:
Ещё о нормальном распределении Правило одной сигмы: Непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, попадает в интервал μ±σ с вероятностью 0,68 Правило двух сигм: Непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, попадает в интервал μ±2σ с вероятностью 0,95 Правило трёх сигм: Непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, попадает в интервал μ±3σ с вероятностью почти 1 ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Слайд 15
Описание слайда:
Законы распределения н.с.в. 3. Распределение «хи-квадрат» (χ2) Распределение «хи-квадрат» – распределение случайной величины, представляющей собой сумму квадратов k независимых стандартных нормальных величин: С увеличением k распределение «хи-квадрат» приближается к нормальному.

Слайд 16
Описание слайда:
Законы распределения н.с.в. 4. Распределение Стьюдента Пусть z – нормальная стандартная случайная величина, а V – независимая от неё величина, имеющая распределение χ2 с использованием k независимых нормальных стандартных величин (число k ещё называют числом степеней свободы). Тогда случайная величина имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы (его ещё называют t-распределением). С ростом k распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Слайд 17
Описание слайда:
5. Распределение Фишера 5. Распределение Фишера Пусть U и V – две независимые случайные величины, имеющие распределение χ2 с k1 и k2 степенями свободы, соответственно. Тогда случайная величина имеет распределение Фишера (или Фишера-Снедекора) со степенями свободы k1 и k2 . Также его называют F-распределением.

Слайд 18
Описание слайда:
Резюме - определение дисперсии д.с.в. - удобная формула для вычисления дисперсии д.с.в. D(X)=n*p*(1-p) – дисперсия биномиального распределения с пар-рами n и p - среднее квадратическое отклонение – функция распределения – плотность распределения


Скачать презентацию на тему Случайные величины (лекция 4) можно ниже:

Похожие презентации