Стационарное свободное двумерное течение жидкости внутри двугранного угла с движущимися стенками презентация

Стационарное свободное двумерное течение жидкости внутри двугранного угла с движущимися стенками. Маслов Кирилл, КМБО-1-12

Постановка задачи в угле – скорость жидкости давление динамическая вязкость жидкости

Рассматриваем стационарное свободное двумерное течение жидкости внутри двугранного угла с движущимися стенками, образованного координатными осями . Рассматриваем стационарное свободное двумерное течение жидкости внутри двугранного угла с движущимися стенками, образованного координатными осями . Скорости функциями : Уравнение непрерывности принимает вид Для стационарного течения . Так как течение свободное, то . Будем пользоваться приближением малых чисел Рейнольдса, когда квадратичным членом в уравнении Навье-Стокса можно пренебречь. Тогда уравнение Навье-Стокса запишется в виде

Имеем следующие граничные условия для компонент скоростей на границах угла : Имеем следующие граничные условия для компонент скоростей на границах угла : где некоторые заданные функции.

Функция тока Введем функцию тока определяемую уравнениями Основным удобством введения функции тока является то обстоятельство, что уравнение непрерывности будет удовлетворено автоматически. Согласно определению линейного оператора rot имеем где декартовой оси перпендикулярной осям а двумерный оператор Лапласа. Теперь уравнение запишется в виде

Общее решение бигармонического уравнения Вводим комплексные переменные где мнимая единица Оператор Лапласа можно переписать через производные : Теперь полагаем где, где означает действительную часть комплексного числа, и является решением бигармонического уравнения т.е. Частичное интегрирование этого уравнения по переменной приводит к равенству где произвольная голоморфная функция. Интегрируя второй раз по переменной получаем

где произвольная голоморфная функция. Отсюда следует, что общим решением уравнения (12) будет функция где произвольная голоморфная функция. Отсюда следует, что общим решением уравнения (12) будет функция где произвольные голоморфные функции.

Пример 1 Зададим следующие функции, которые не имеют особенностей в области , т.е. являются аналитическими функциями от переменной : где . Тогда Видим, что при функции найденные выше вещественны, и поэтому соответствуют некоторой физической картине течения. Зная функцию тока теперь можно найти искомое поле скоростей

(*) (*)

На рисунке 1. приведена картина течения (иными словами линии тока), соответствующая найденному выше полю скоростей, построенная для частного значения . На рисунке 1. приведена картина течения (иными словами линии тока), соответствующая найденному выше полю скоростей, построенная для частного значения . Поле давлений можно найти из бигармонического уравнения откуда следует (**) Формулы (* и **) решают поставленную задачу.

Пример 2 . Рассмотрим функцию тока Соответствующее поле скоростей дается формулами

Пример 3 Рассмотрим случай . Функция тока Соответствующее поле скоростей дается формулами

Пример 4 Рассмотрим случай Соответствующее поле скоростей дается формулами

Пример 5 Прежде чем мы перейдем к рассмотрению новых примеров следует заметить, что не все аналитические в верхней полуплоскости функции удовлетворяющие условию Для специального выбора функции можно упростить задачу отыскания подходящих функций : (***) где вещественная функция. В уравнениях (***) входит всего лишь одна функция

Положим Положим Эти функции аналитичны в верхней полуплоскости так как при имеем (это означает, что согласно теореме Руше известной из теории функций комплексного переменного (ТФКП) не имеет нулей в верхней полуплоскости). Из уравнений (***) получаем

Список литературы. 1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 2. Л.И.Седов. Механика сплошной среды, том 1 и 2. М.: Наука, 1970. 3. В.И.Смирнов Курс высшей математики, Т.3. Ч.2. М.: Наука, 1974. 4. Н.И. Мусхелишвили. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.