Статистика и теория вероятностей. Подготовка к решению задач на ОГЭ и ЕГЭ презентация

Статистика и теория вероятностей очных языков № 4 Голубева Татьяна Аликовна

Данные могут быть представлены - графически; Данные могут быть представлены - графически; в виде ряда данных ; в виде таблиц.

Графическое представление информации. Круговые диаграммы На диаграмме представлены длины крупнейших рек Европейской и Азиатской частей России (в тыс.км). Какое из следующих утверждений верно? 1. Длина Дона больше длины Оби 2. Длина Волги составляет 4 тыс.км 3. Река Урал входит в семерку крупнейших по длине рек Сибири 4. Длина Волги больше длины Амура

Графическое представление информации. Круговые диаграммы На диаграмме представлены длины крупнейших рек Европейской и Азиатской частей России (в тыс.км). Какое из следующих утверждений верно? 1. Длина Дона больше длины Оби 2. Длина Волги составляет 4 тыс.км 3. Река Урал входит в семерку крупнейших по длине рек Сибири 4. Длина Волги больше длины Амура

Графическое представление информации. Круговые диаграммы На диаграмме показано содержание питательных веществ в рисе. Определите по диаграмме, в каких пределах находится содержание углеводородов. 1) 0 – 20 % 2) 20 – 50 % 3) 50 – 70 % 4) 70 – 100 %

Графическое представление информации. Круговые диаграммы На диаграмме показано содержание питательных веществ в рисе. Определите по диаграмме, содержание каких веществ преобладает. 1) белки 2) жиры 3) углеводы 4) прочее

Графическое представление информации. Круговые диаграммы На диаграмме показано содержание питательных веществ в рисе. Определите по диаграмме, сколько примерно белков содержится в 500 г риса. 1)около 7 г 2)около 35 г 3)около 70 г 4)около 350 г

Графическое представление информации. Круговые диаграммы На диаграмме показано содержание питательных веществ в рисе. Определите по диаграмме, какая примерно масса риса содержит 300 г углеводов. 1) около 220 г 2) около 400 г 3) около 1,5 кг 4)около 3 кг

Графическое представление информации. Столбчатые диаграммы На диаграмме показано количество учащихся, прошедших тестирование по математике в некотором городе. Определите номер школы, занявшей второе место по числу прошедших тестирование.

Графическое представление информации. Столбчатые диаграммы На диаграмме показано количество учащихся, прошедших тестирование по математике в некотором городе. Определите, на сколько учеников больше прошли тестирование в школе 103, чем в школе 86..

Ряд данных и таблица распределения данных Например. Результаты написания контрольной работы по математике для класса из 20 человек можно представить в виде следующего ряда данных:3,4,4,5,3,4,3,3,3,5,5,4,5,4,5,3,3,3,4,3. Эту же информацию можно представить в виде таблицы: Такую таблицу называют таблицей частот.

Числовые характеристики данных Среднее арифметическое ряда чисел - частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых Размах ряда чисел - разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел Мода ряда чисел – число наиболее часто встречающееся в данном ряду Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется среднее в ряду число; с чётным числом членов среднее арифметическое чисел, записанных посередине

Задача. По статистике автозавода из 1000 машин в среднем 20 бракованных. Сколько бракованных машин следует ожидать, если завод собирается выпустить 300 500 машин? Задача. По статистике автозавода из 1000 машин в среднем 20 бракованных. Сколько бракованных машин следует ожидать, если завод собирается выпустить 300 500 машин? Решение: Если из 1000 машин 20 бракованных, то частота появления бракованной машины равна = 0,02. Тогда из 300 500 машин будет 300 500 ∙ 0,02 = 6010 бракованных машин.

1. Случайное событие (СС)- это событие, которое либо произойдёт, либо нет. 1. Случайное событие (СС)- это событие, которое либо произойдёт, либо нет. 2. Каждое случайное событие (СС) иметь свою вероятность произойти (сбыться, реализоваться). 3. Испытание – любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам. 4. Исход - конечный результат испытания. Значит испытание может иметь один или несколько исходов. 5. Благоприятный исход – желаемый исход.

Запомни: m – число (количество) благоприятных исходов, n – число (количество) всех исходов. m – число (количество) благоприятных исходов, n – число (количество) всех исходов.

Оля, Денис, Коля, Витя и Света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик. Оля, Денис, Коля, Витя и Света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик. Р(А)= = 0,6 2. На экзамене 40 билетов по геометрии. В 12 из них встречается вопрос по теме «Углы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете по геометрии школьнику не достанется вопроса по теме «Углы». Р(А)= = 0,7

3. В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 9 из них встречается вопрос по древней истории, а в 11 – по средневековью, при этом ровно в 3 билетах встречаются вопросы и по древней истории, и по средневековью. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете по истории школьнику не достанется вопроса ни по древней истории, ни по средневековью. 3. В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 9 из них встречается вопрос по древней истории, а в 11 – по средневековью, при этом ровно в 3 билетах встречаются вопросы и по древней истории, и по средневековью. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете по истории школьнику не достанется вопроса ни по древней истории, ни по средневековью. Решение: 1) 9+11-3=17 билетов, в которых встречается вопрос по древней истории или по средневековью. 2) 50 – 17= 33 билета, в которых нет таких вопросов. 3) Р(А)= = 0,66 Ответ: 0,66

4. Одновременно бросают две монеты. С какой вероятностью на них выпадут два орла? Решение: О – орел, Р – решка. Возможные исходы: ОО, ОР, РО, РР. Благоприятный исход: ОО. Р(А)= = 0,25

5. Конференция проводится 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день – 30 докладов, а остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Решение: 1) (50-30): 2=10 докладов в третий день 2) Р(А)= = 0,2 Ответ: 0,2

Два события А и В называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В. Два события А и В называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В. Пример: при бросании кубика события «выпало число 3» и «выпало четное число» несовместны, а события «выпало число больше 3» и «выпало четное число» совместны.

Пусть событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Тогда С называют объединением событий А и В, пишут С=А В. Пусть событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Тогда С называют объединением событий А и В, пишут С=А В. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий А и В: Р(А В)= Р(А) + Р(В)

Примеры Имеются 20 карточек, на которых записаны числа от 1 до 20. Из них наугад выбирают одну карточку. Какова вероятность того, что на выбранной карточке будет число 20 или любое нечетное число? Решение: А – «выбрана карточка с числом 20», В – «выбрана карточка с нечетным числом». События А и В несовместны. Р (А) = , Р (В) = . Поэтому Р (АВ) = + = 0,55 Ответ: 0,55

Примеры 2. На подносе лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 2 с картошкой и 9 с капустой. Какова вероятность того, что случайно выбранный пирожок будет с мясом или с картошкой? Решение: А – «выбран пирожок с картошкой», В – «выбран пирожок с мясом». Всего 9+2+4=15 пирожков. События А и В несовместны. Р (А) = , Р (В) = . Поэтому Р (АВ) = + = 0,4 Ответ: 0,4

Два события А и В называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события. Два события А и В называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события. Пример: Выполним последовательно два подбрасывания монеты. Тогда события «при первом подбрасывании выпала решка» и «при втором подбрасывании выпал орел» являются независимыми: вероятность каждого из них рана 0,5 независимо от того, что произошло при другом подбрасывании.

Другой пример: Пусть в урне находятся два черных и два белых шара. Сперва из урны наугад извлекают один шар. Затем из этой же урны наугад извлекают еще один шар. Другой пример: Пусть в урне находятся два черных и два белых шара. Сперва из урны наугад извлекают один шар. Затем из этой же урны наугад извлекают еще один шар. Пусть событие А – «первый извлеченный шар белый», событие В – «второй извлеченный шар черный». Тогда события А и В являются зависимыми. Действительно, если событие А произошло, то в урне из трех оставшихся шаров два черных и Р(В) = . Если же событие А не произошло (т.е. в первый раз вытащили черный шар), то в урне из трех оставшихся шаров один черный и Р(В) = .

Пусть событие С означает, что произошло как событие А, так и событие В. Тогда С называют пересечением событий А и В, пишут С = АВ. Если события А и В независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий А и В: Р(АВ) = Р(А) Р(В)

Пример: Задача 1. В первой урне находятся 10 белых и 4 черных шаров, а во второй урне 5 белых и 9 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Решение: А – из первой урны вынули черный шар, В – из второй урны вынули черный шар. Эти события независимы и Р(С)= ∙ = 0,184.

Пример: Задача 2. Монету подбрасывают три раза подряд. Какова вероятность того, что все три раза выпадет «орел»? Решение: 1 вариант. Пусть , , - выпадение орла в каждом из трех подбрасываний. Эти события независимы и Р(А₁)=Р(А₂)=Р(А₃) = . Поэтому Р(С) = ∙ ∙ = .

Варианты всевозможных исходов можно подсчитать тремя способами.

Задача 3. Одновременно бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, то на одном кубике выпадет 5 очков, а на другом – четное число очков. В ответе запишите результат, округленный до сотых. Задача 3. Одновременно бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, то на одном кубике выпадет 5 очков, а на другом – четное число очков. В ответе запишите результат, округленный до сотых. Решение: На первой кости может быть: 1,2,3,4,5 и 6 очков, т.е. 6 вариантов. На второй – 6 вариантов. Всего: 6 6=36 (комбинаций). (это правило умножения)

Примеры

Перед началом матча по водному поло судья устанавливает мяч в центр бассейна, и от каждой команды к мячу плывет игрок, чтобы первым завладеть мячом. Вероятности выиграть мяч у каждой команды равны. Команда «Русалка» по очереди играет с командами «Наяда», «Ундина» и «Ариэль». Найдите вероятность того, что во втором матче команда «Русалочка» выиграет мяч в начале игры, а в двух других проиграет. Перед началом матча по водному поло судья устанавливает мяч в центр бассейна, и от каждой команды к мячу плывет игрок, чтобы первым завладеть мячом. Вероятности выиграть мяч у каждой команды равны. Команда «Русалка» по очереди играет с командами «Наяда», «Ундина» и «Ариэль». Найдите вероятность того, что во втором матче команда «Русалочка» выиграет мяч в начале игры, а в двух других проиграет. Решение: 1) - вероятность выиграть мяч и -вероятность проиграть мяч. 2) События независимы, поэтому Р(С) = = = 0,125

2. В чемпионате по настольному теннису участников разбивают на пары случайным образом. Всего участвует 26 спортсменов, среди которых - 13 из России, в т.ч. Виктор Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Виктор Егоров будет играть с каким-нибудь спортсменом из России. 2. В чемпионате по настольному теннису участников разбивают на пары случайным образом. Всего участвует 26 спортсменов, среди которых - 13 из России, в т.ч. Виктор Егоров. Найдите вероятность того, что в первом туре Виктор Егоров будет играть с каким-нибудь спортсменом из России. Решение: Мы зафиксируем одного человека – В.Егорова. Тогда остается 25 спортсменов всего, с одним из которых он будет играть. 12 человек из России. Р(А) = = 0,48

3. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составляет 0,9. Найдите вероятность того, что первые четыре раза биатлонист попадет в мишени, а последний раз – промахнется. Результат округлите до сотых. 3. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составляет 0,9. Найдите вероятность того, что первые четыре раза биатлонист попадет в мишени, а последний раз – промахнется. Результат округлите до сотых. Решение: Попал в мишень – вероятность равна 0,9, не попал в мишень – равна 0,1. События независимые, поэтому Р(А) = 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,1= 0,06561 0,07

4. Автоматическая линия разливает питьевую воду в бутылки по 2 литра. В 95 % случаев объем воды в бутылке отличается от нормы не более, чем на 0,1 литра. Какова вероятность того, что в случайно выбранной бутылке объем воды будет меньше 1,9 л или больше 2,1 л? 4. Автоматическая линия разливает питьевую воду в бутылки по 2 литра. В 95 % случаев объем воды в бутылке отличается от нормы не более, чем на 0,1 литра. Какова вероятность того, что в случайно выбранной бутылке объем воды будет меньше 1,9 л или больше 2,1 л? Решение: Р(А) = 1 – 0,95 = 0,05

5. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными? Ответ округлите до сотых. 5. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными? Ответ округлите до сотых. Решение: 1) Всего исходов – это число сочетаний из 100 по 3. = 2) Число благоприятных исходов – число сочетаний из 95 по 3. 3) Р(А) = =

6. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. 6. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. Решение: 1) Введем независимые события: А1 – при аварии сработает первый сигнализатор, А2 - при аварии сработает второй сигнализатор. Р(А1)=0,95, Р(А2) = 0,9. 2) Введем событие Х – при аварии сработает только один сигнализатор. Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или наоборот. Т.е Р(Х) = Р(А1)Р(Ᾱ2) + Р(Ᾱ1) Р(А2). Р(Х) = 0,95 ∙ 0,1 + 0,05 0,9= 0,14 Ответ: 0,14

7. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G. 7. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G. Решение: Это граф. Выбор пути на каждой развилке происходит наудачу, поэтому вероятность поровну делится между всеми возможностями. Из точки А – два варианта пути. Следовательно, вероятности равны . Из точки С – три пути, значит вероятности равны . И т.д.

8. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие - в поле F или в болото М. Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото. 8. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие - в поле F или в болото М. Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото.

Информационные источники Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков - М.: Просвещение, Пособие для учителей. 1971.- 461 с. Математика. Пособие для чайников. Модуль 3: Реальная математика. Базовый уровень. ГИА – 2014. Учебно-методический комплекс «Математика. Подготовка к ГИА». Легион, Ростов-на-Дону, 2013. А.В.Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко, П.И.Захаров. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2013, Москва, «Интеллект-Центр», 2013. Ю.Н.Миндюк, Н.Г.Миндюк. Изучаем элементы статистики и теории вероятностей. Статья в журнале «Математика в школе» №5, 2004. http://images.yandex.ru/