Теория вероятностей. Элементы математической статистики (лекция 8) презентация

Теория вероятностей

Лекция 8

. Задачи математической статистики Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора и анализа результатов наблюдений массовых случайных явлений с целью выявления существующих закономерностей.

результаты наблюдений (экспериментов) результаты наблюдений (экспериментов) процесс наблюдений может корректироваться на основании предварительных результатов (последовательный анализ)

Следует заметить, что степень обоснованности применения априорной информации зависит от компетентности и добросовестности конкретного исследователя и неверные исходные допущения могут существенно исказить результат статистического анализа. Следует заметить, что степень обоснованности применения априорной информации зависит от компетентности и добросовестности конкретного исследователя и неверные исходные допущения могут существенно исказить результат статистического анализа.

. Частые задачи математической статистики

Современная математическая статистика может быть определена как теория принятия решений в условиях неопределенности. Современная математическая статистика может быть определена как теория принятия решений в условиях неопределенности. Она включает в себя также методы определения числа наблюдений, необходимых для достаточно надежной оценки, до начала исследований (планирование эксперимента) или в процессе исследований (последовательный анализ), что позволяет уже на этапе сбора информации уменьшить объем собираемых данных без снижения надежности оценок.

Генеральная и выборочная совокупности. Способы отбора Если нужно изучить, как в совокупности однородных объектов распределен некоторый признак, характеризующий эти объекты, не всегда возможно исследовать каждый объект (объектов может быть слишком много, при проверке объект может быть уничтожен, и т.п.). В этих случаях отбирают часть объектов и по свойствам отобранных объектов судят о свойствах всех объектов.

Основные определения Выборкой или выборочной совокупностью называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют исходное множество объектов, из которого производится выборка. Объем совокупности (выборочной или генеральной) – число элементов данного множества.

Для упрощения вычислений при очень большом объеме генеральной совокупности часто принимают, что ее объем бесконечен. Подобное допущение основано на законе больших чисел, погрешность, им вносимая, практически не сказывается на характеристиках выборки. Для упрощения вычислений при очень большом объеме генеральной совокупности часто принимают, что ее объем бесконечен. Подобное допущение основано на законе больших чисел, погрешность, им вносимая, практически не сказывается на характеристиках выборки.

Выборка называется повторной, если случайно отобранный для обследования объект возвращается в генеральную совокупность перед отбором следующего объекта. Выборка называется повторной, если случайно отобранный для обследования объект возвращается в генеральную совокупность перед отбором следующего объекта. В противном случае выборка называется бесповторной .

Чтобы по данным выборки можно было судить о всей совокупности, необходимо, чтобы члены выборки представляли ее достаточно правильно. Чтобы по данным выборки можно было судить о всей совокупности, необходимо, чтобы члены выборки представляли ее достаточно правильно. Такая выборка называется репрезентативной (представительной).

1) случайный отбор элементов совокупности, 1) случайный отбор элементов совокупности, 2) равновероятность попадания в выборку любого элемента генеральной совокупности, 3) достаточно большой объем выборки

Если элементы извлекаются по одному из генеральной совокупности, говорят о простом случайном отборе (может быть повторным и бесповторным). Если элементы извлекаются по одному из генеральной совокупности, говорят о простом случайном отборе (может быть повторным и бесповторным). Если из генеральной совокупности элементы разбиваются на группы, “серии”, серия отбирается случайно и подвергается сплошной проверке, отбор называется серийным.

Типический отбор осуществляется следующим образом: генеральная совокупность делится на “типические” части, из каждой части производится случайный отбор. Типический отбор осуществляется следующим образом: генеральная совокупность делится на “типические” части, из каждой части производится случайный отбор.

Статистическое распределение выборки

статистическим распределением выборки или статистическим рядом Называется перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот)

пример При 100 подбрасываниях игральной кости на верхней грани единица выпала 22 раза, двойка -16 , тройка - 13, четверка -24 , пятерка -12 и, наконец, шестерка – 13 раз. Считая число выпавших очков случайной величиной, построить для нее статистический ряд.

В том случае, если число значений случайной величины X велико, или есть основания полагать, что случайная величина является непрерывной и может принять любое значение из некоторого промежутка, строят интервальный статистический ряд. В том случае, если число значений случайной величины X велико, или есть основания полагать, что случайная величина является непрерывной и может принять любое значение из некоторого промежутка, строят интервальный статистический ряд.

Значения вариант группируют по промежуткам (обычно одинаковой длины), в первой строке указывается промежуток, во второй – число наблюдений, попавших в данный промежуток. Значения вариант группируют по промежуткам (обычно одинаковой длины), в первой строке указывается промежуток, во второй – число наблюдений, попавших в данный промежуток.

интервальный статистический ряд Значения вариант группируют по промежуткам (обычно одинаковой длины), в первой строке указывается промежуток, во второй – число наблюдений, попавших в данный промежуток. Для определения оптимальной длины частичного промежутка можно использовать формулу Стерджеса. Пусть значения случайной величины X располагаются на отрезке , объем выборки – n. Длина частичного интервала , число интервалов (берется ближайшее к целому), первый интервал начинается в точке

пример Пусть измерен рост 50 случайно выбранных человек с точностью до 1 см (результаты приведены ниже). 175, 179, 170, 163, 159, 171, 170, 152, 168, 172, 160, 167, 165, 167, 156, 170, 181, 153, 163, 167, 179, 172, 170, 186, 180, 187, 178, 175, 168, 168, 171, 173, 178, 170, 183, 181, 180, 160, 165, 158, 173, 160, 167, 172, 180, 169, 168, 170, 188, 176.

Упорядочим данные выборки по возрастанию (ранжируем выборку): 152, 153, 156, 158, 159, 160, 160, 160, 163, 163, 165, 165, 167, 167, 167, 167, 168, 168, 168, 168, 169, 170, 170, 170, 170, 170, 170, 171, 171, 172, 172, 172, 173, 173, 175, 175, 176, 178, 178, 179, 179, 180, 180, 180, 181, 181, 183, 186, 187, 188.

Построим интервальный статистический ряд.

Полигон и гистограмма Для наглядности часто используют графические изображения статистических рядов: для дискретного ряда - полигон, для интервального ряда - гистограмму.

Полигон частот (относительных частот)

Гистограмма частот (относительных частот)

Эмпирическая функция распределения

теорема (Гливенко)

пример Построим эмпирическую функцию распределения для ранее рассмотренного примера (подбрасывание кости). Распределение приведено ниже.

Построим эмпирическую функцию распределения

Числовые характеристики статистического распределения выборки

Замечание Каждой числовой характеристике случайной величины ХГ соответствует ее выборочный аналог – характеристика случайной величины XВ. При возрастании объема выборки числовые характеристики XВ будут сходиться по вероятности к соответствующим характеристикам ХГ.

числовые характеристики выборки Выборочное среднее – среднее арифметическое значений выборки

числовые характеристики выборки Выборочное среднее – среднее арифметическое значений выборки

числовые характеристики выборки Выборочная мода – наиболее вероятное значение в выборке (варианта с наибольшей частотой). Выборочная медиана – значение случайной величины, приходящееся на середину вариационного ряда. Если объем выборки четен, n=2m, то, если нечетен, n=2m+1, то .

числовые характеристики выборки Выборочная дисперсия – среднее значение квадрата отклонения

числовые характеристики выборки Выборочное среднее квадратическое отклонение Исправленная выборочная дисперсия Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

Числовые характеристики генеральной совокупности Генеральное среднее – среднее арифметическое значений признака X генеральной совокупности:

Числовые характеристики генеральной совокупности Генеральная дисперсия – среднее по генеральной совокупности значение квадрата отклонения

Числовые характеристики генеральной совокупности Генеральное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение )