Термодинамика излучения. Начала молекулярнокинетической теории презентация

Лекция 16 Термодинамика излучения. Начала молекулярно-кинетической теории.

Термодинамика излучения Излучение находится в центре внимания физики. Квантовая теория излучения представляет излучение как поток фотонов – элементарных частиц. Свойства фотонов 1 . Скорость фотонов равна скорости света. 2. Энергия фотона Е = h. h =6.62610-34 Джс – постоянная Планка,  - частота излучения.

Термодинамика излучения Одним из видов излучения является излучение нагретых тел. «Нагретое тело» имеет любую температуру, кроме 0 К. Электромагнитное излучение, находящееся в равновесии с окружающими телами, называется тепловым, или равновесным.

Термодинамика излучения Так как это излучение не выходит наружу, оно называется излучением абсолютно черного тела. Равновесное излучение в полости можно рассматривать как термодинамическую систему, обладающую температурой (температура стенок), объемом (объем полости) давлением Излучение можно рассматривать как фотонный газ.

Термодинамика излучения Обозначим через u плотность энергии излучения, т.е. количество такой энергии в единице объема пространства. . - объемная плотность энергии излучения, приходящейся на интервал частот или интервал длин волн

Термодинамика излучения Функции зависят только от частоты (или длины волны и от температуры излучения T, но не зависят от формы и материала стенок полости. Формулы Планка.

Термодинамика излучения Зависимость спектральной плотности излучения от длины волны. b = const = 2898 мкмK Для солнца 0,48 мкм Для человека  9 мкм

Термодинамика излучения Прозрачность атмосферы

Взаимодействие излучения с веществом На пластинку падает поток излучения Энергия, переносимая этим потоком, называется его интенсивностью J. . Величина имеют смысл интенсивности излучения, приходящейся на интервал длин волн .

Взаимодействие излучения с веществом интенсивность излучения в диапазоне волн , падающего на пластинку из некоторого материала. Часть излучения отразится от поверхности, часть пройдёт сквозь пластинку, часть поглотится в пластинке

Взаимодействие излучения с веществом Сумма этих слагаемых будет равна интенсивности падающего потока света.   +.   Поделив на получим   .

Взаимодействие излучения с веществом Величину называют отражательной способностью вещества. Величина называется прозрачностью, величина – поглощательной способностью. Их сумма равна единице

Взаимодействие излучения с веществом Если , то , все падающее на тело излучение зеркально отражается от него

Взаимодействие излучения с веществом Если , то все упавшее на тело излучение поглощается им. Такое тело называется абсолютно черным телом.

Взаимодействие излучения с веществом Серым телом называют тело, которое поглощает только часть падающего излучения. Мы будем обозначать его поглощательную способность Естественно что, . Поглощательную способность абсолютно черного тела мы будем обозначать

Взаимодействие излучения с веществом Излучательные способности Серого тела Черного тела Величина – равна интенсивности излучения тела в диапазоне .

Взаимодействие излучения с веществом Поместим в полость, стенки которой имеют температуру T, серое и черное тела. При равновесии , а количество поглощаемой каждым телом энергии равно количеству излучаемой. Плотность энергии излучения при равновесии везде будет одинакова На единицу поверхности падает одинаковый поток излучения .

Взаимодействие излучения с веществом При равновесии поток поглощенной энергии должен быть равен потоку энергии излучения Для черного тела и Для серого тела . Поделив последнее выражение на предыдущее, получим . Поскольку , то .

Взаимодействие излучения с веществом Закон Кирхгофа Отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела, а зависит от излучательной способности абсолютно черного тела, являющейся функцией частоты и температуры .

Закон Стефана-Больцмана Фотон поглощается стенкой. Он передает стенке импульс, равный E/c, где E – энергия фотона. По принципу детального равновесия стенка должна испустить такой же фотон в том же направлении. При этом она получит импульс отдачи также равный E/c. Суммарный импульс, получаемый стенкой в результате взаимодействия с фотонным газом равен 2 E/c.

Закон Стефана-Больцмана Концентрация фотонов равна n. В сторону стенки в каждый момент времени летит 1/6 часть фотонов. До площадки S на стенке в единицу времени долетит объем сS, содержащий nсS фотонов. Импульс, полученный площадкой S, а значит действующая на нее сила F равна  ,

Закон Стефана-Больцмана u – плотность энергии фотонного газа (излучения). Давление фотонного газа P  .   Внутренняя энергия фотонного газа U, заключенного в полость объемом V равна   .

Закон Стефана-Больцмана Воспользуемся формулой из Лекции 13, выражающую связь между внутренней энергией термодинамической системы и давлением  . Для фотонного газа = u

Закон Стефана-Больцмана Получаем дифференциальное уравнение  , или . Его решением является выражение   .

Закон Стефана-Больцмана .   Закон Стефана-Больцмана: Плотность энергии излучения пропорциональна четвертой степени температуры. Коэффициент пропорциональности определен экспериментально.

Закон Стефана-Больцмана Можно также показать, что плотность потока излучения абсолютно черного тела определяется формулой  .   Такая сильная зависимость от температуры приводит к тому, что в обычных условиях при температурах выше 400-500 0С теплообмен осуществляется за счет излучения. Например, Солнце, имея температуру 6000 0К, излучает огромную энергию, так что на орбите Земли поток этого излучения составляет около 1600 вт/м2. Если считать Солнце и Землю абсолютно черными телами, для равновесной температуры Земли мы получим температуру около 0 0С

Начала молекулярно-кинетической теории Экспериментальный материал термодинамику обобщает и систематизирует молекулярно-кинетическая теория. Теория поддерживает атомистическое мировоззрение, Теория связывает воедино механику и термодинамику Теория рассматривает обширный класс явлений, который невозможно ни объяснить, ни описать другими способами

Начала молекулярно-кинетической теории Мы будем опираться на модель идеального газа – простейшую из известных молекулярных моделей. Уравнение состояния идеального газа  . Идеальный газ – это газ хаотически движущихся материальных точек. «Точки» не имеют размера и единственным видом их взаимодействия друг с другом и со стенками является обмен импульсами.

Начала молекулярно-кинетической теории Молекулярно-кинетическая теория опирается на законы механики – в первую очередь на законы сохранения энергии и импульса. В основе ее математического аппарата лежит теория вероятностей.

Элементы теории вероятностей Событиями будем называть явления, которые в результате некоторого опыта могут произойти или не произойти. Если в данном опыте событие обязательно происходит, его называют достоверным, если оно не может произойти, его называют невозможным.

Элементы теории вероятностей Вероятностью события это отношение опытов, в котором это событие произошло к общему количеству опытов. Подбросим вращающуюся монетку. Равновозможных случая два или выпадение «орла» или «решки», и событие выпадения «орла» одно из равновозможных. Соответственно вероятность выпадения «орла» равна 1/2. Таким образом вероятность выпадения «орла» дважды подряд, равна ¼, а вероятность выпадения хотя бы одного «орла» при двух бросаниях будет равна 3/4.

Элементы теории вероятностей Пусть в коробке находится 35 красных, 40 зелёных и 25 белых шаров, всего их 100 Вероятность вынуть красный шар равна 35/100, белый шар 1/4, зелёный 4/10. Лишь при достаточно большом числе испытаний получаемые результаты будут стремиться к указанным выше.

Элементы теории вероятностей Суммой событий А и Б, мы назовем событие состоящее в появлении или А или Б и обозначим А + Б. Соответствующая вероятность будет Р(А + Б) = Р(А) + Р(Б) Вероятность вытащить при первой попытке цветной шар будет . Произведением событий А и Б назовем событие, состоящее в появлении и А и Б. Если события независимы, т.е. вероятность появления Б не зависит от появления А то соответствующая вероятность будет обозначаться Р(АБ) = Р(А)Р(Б).

Элементы теории вероятностей Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно, какое именно. Случайные величины бывают дискретными. Примером может служить число попаданий в мишень неподготовленным стрелком при десяти выстрелах. Примером непрерывной случайной величины может служить расстояние от центра мишени при выстрелах.

Элементы теории вероятностей Тот факт, что в результате опыта случайная величина приняла некоторое значение есть событие, которое может характеризоваться вероятностью P. Это – вероятность возможных значений дискретной случайной величины (для краткости говоря «вероятность величины X). Сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины равна 1.

Элементы теории вероятностей Законом распределения (или просто – распределением) случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Законом распределения дискретной случай величины называется таблица, в которой перечислены значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Элементы теории вероятностей Тот факт, что в результате проведения опытов непрерывная случайная величина приняла значения, лежащие в интервале [x, x+dx] есть событие, характеризуемое элементом вероятности dW. Это – вероятность того, что возможные значения случайной величины окажутся в этом интервале.

Элементы теории вероятностей Плотностью вероятности случайной величины X называется функция f(x), такая, что . Физики называют эту функцию функцией распределения.   в случае, когда интегрирование ведется по всей области возможных значений X.

Средние значения случайной величины Вычисление средних по большому числу молекул значений различных величин: скорости, энергии и т.д. является одной из задач молекулярно-кинетической теории. Эта задача решается методами теории вероятностей. Средние значения мы будем обозначать скобками - <X>.

Средние значения случайной величины Предположим, что вы сделали 100 выстрелов по мишени и решили подсчитать среднее значение своих результатов. Вы можете сделать это просто путем вычисления среднего арифметического   .  

Средние значения случайной величины Другой способ вычисления среднего, использующий умножение. Предположим, что в единицу вы попали 5 раз, в двойку – 10, в тройку – 13, …., в десятку 2 раза попали. Тогда ту же среднюю величину <X> вы будете считать иначе   .  

Средние значения случайной величины Обратим внимание на то, что дроби в этой сумме как раз и представляют собой вероятности каждой из этих величин. В итоге мы можем записать формулу для вычисления среднего значения дискретной случайной величины  ,   Здесь xi – возможные значения случайной величины, pi –соответствующие им вероятности. Суммирование ведется по всем возможным значениям случайной величины.

Средние значения случайной величины Среднее значение непрерывной случайной величины можно вычислить аналогичным образом, заменив суммирование интегрированием   ,   где интеграл берется по всей области возможных значений случайной величины.

Идеальный газ с молекулярно-кинетической точки зрения С точки зрения молекулярной теории идеальный газ – это теоретическая модель газа, в которой пренебрегается взаимодействием между молекулами (за исключением взаимодействий в краткие моменты столкновений). В воздухе, например, среднее расстояние между молекулами примерно в 103 больше их размера, поэтому очевидно, что при рассмотрении многих явлений взаимодействием молекул можно пренебречь.

Идеальный газ с молекулярно-кинетической точки зрения Молекулы идеального газа находятся в основном в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Все направления движения в отсутствие внешнего поля равновероятны. Движение имеет хаотический характер, так как после каждого столкновения скорости и направления движения существенным образом меняются.

Направления движения молекул Выберем некоторое направление, характеризуемое углами θ и  сферической системы координат Нас интересует доля молекул, движущихся именно в этом направлении Можно говорить только о вероятности иметь направление в малых интервалах углов от θ до θ + dθ и от υ до υ + dυ. Эти углы задают в пространстве 4 направления

Направления движения молекул На единичной сфере задаваемые этими направлениями линии задают вершины криволинейного четырехугольника малой площади dS = sinθ dθ d = dΩ, где dΩ – элемент так называемого телесного угла.

Направления движения молекул Вероятность попадания единичного вектора, направленного вдоль движения молекулы, именно в данный элемент поверхности есть отношение этой площади к полной площади поверхности единичной сферы (равной 4π):  

Направления движения молекул При аксиальной симметрии от угла  ничего не зависит. Вероятность тогда можно проинтегрировать по углам  и получить . При полном же интегрировании по всей единичной сфере суммарная вероятность иметь все возможные направления равна единице:   .  

Вероятность значения скорости Абсолютная величина скорости меняется от нуля до бесконечности. Будем говорить о вероятности иметь модуль скорости в интервале от . Суммарная вероятность иметь всевозможные скорости, как и вероятность двигаться по всем направлениям, равна единице  

Среднее значение скорости Среднее значение модуля скорости выражается формулой     Найти среднее значение квадрата скорости можно аналогичным способом  

Среднее значение скорости Вероятность dW(vх) иметь скорость vx вдоль направления х, о Вероятност dW(vу) иметь скорость vy вдоль направления у, о Вероятности dW(vz) иметь скорость vz вдоль направления z. Эти проекции скоростей могут быть как положительными, так и отрицательными, и меняются в бесконечных пределах Например, среднеквадратичная скорость дается выражением  

Давление идеального газа Давление в сосуде с газом создается ударами молекул о его стенку. Будем считать удары абсолютно упругими. Сначала рассмотрим удар одной молекулы. Ось, перпендикулярную стенке, обозначим за х.

Давление идеального газа При соударении стенка со стороны молекулы испытывает зависящую от времени силу в направлении оси х, Fх(t), которая изменяется от нуля до некоторой максимальной величины в момент наиболее сильного контакта со стенкой и спадает опять до нуля после столкновения

Давление идеального газа Выберем некоторый интервал времени Т, который существенно превышает длительность столкновения и рассчитаем среднюю действующую в интервале от 0 до Т силу. Эта средняя сила определяется интегралом     Записав второй закон Ньютона в виде , можно выразить следующим образом   .  

Давление идеального газа Выберем теперь на стенке сосуда некоторую площадку S и учтем, что в единицу времени о площадку ударяется много молекул. Найдем суммарный импульс, который получает стенка   .   Значения компонент скоростей Целесообразно разбить молекулы на группы, обладающие близкими значениями проекций скорости vx. Такие молекулы передают стенке одинаковый импульс.  

Давление идеального газа Из всех молекул, налетающих за время T на площадь S, выберем только те, которые имеют скорость в интервале от vx до vx.+ dvx. Число таких молекул обозначим за dN(vx, T, S). Так как молекулы данной группы подлетают к стенке из примыкающего к ней объема величины , то для dN(vx, T, S)  

Давление идеального газа Разбиение на группы позволяет рассматривать vx как   .   Интеграл в этом выражении есть не что иное, как . Поскольку только половина молекул в объеме летит в сторону стенки, то следует принять . В итоге получаем   .  

Давление идеального газа Из теоремы Пифагора следует   Из условия равной вероятности всех направлений получаем     то   .   Таким образом, мы установили, что давление пропорционально средней кинетической энергии молекул.  

Температура Вопрос о связи температуры средней энергии молекул газа мы обсуждали в лекции 12. «Если два тела с разной температурой привести в контакт, то рано или поздно их температуры станут равными. Ровно то же самое произойдет со средней двух систем хаотически движущихся частиц, если так или иначе позволить им обмениваться энергией: средние энергии будут выравниваться. Это наблюдение позволило высказать гипотезу о том, что температура пропорциональна средней кинетической энергии молекул.»

Температура .Для одноатомного газа установлено следующее соотношение   .   Средние кинетические энергии движения вдоль декартовых осей равны  

Уравнение идеального газа   Это уравнение идеального газа, которое мы теперь получили не как обобщение экспериментальных данных, а в результате расчета, основанного на молекулярно-кинетической модели.

До следующей лекции