Волны в упругих средах. Волновое уравнение. Продольные и поперечные волны. Вектор Умова презентация

Волны в упругих средах. Волновое уравнение. Уравнение монохроматической бегущей волны, основные характеристики волн. Продольные и поперечные волны. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах. Энергетические характеристики упругих волн. Вектор Умова.

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Частицы среды не переносятся волной - они совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны: продольные- частицы среды около своего положения равновесия движутся вдоль направления распространения (жидкая, твердая и газообразная среда) поперечные – частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны (твердая среда)

Продольная Продольная упругая волна

Уравнение гармонической волны: Уравнение гармонической волны: a- амплитуда,w-циклическая частота колебаний частиц в среде. Период колебаний: Длина волны λ- расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2π, расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний T Волновое число: Поглощающая упругая среда: где γ-коэффициент затухания волны (м-1), амплитуда уменьшается по закону:

Уравнение плоской волны: Колебания носят гармонический характер. Ось x – вдоль направления распространения волны. Волновые поверхности перпендикулярны оси x. Смещение зависит только от x и t:

В случае сферической волны: Скорость распространения волны в о всех направлениях одинаковая. Пусть фаза wt. Точки, лежащие на волновой поверхности r >> радиуса источника, будут колебаться с фазой w(t-r/v). Амплитуда колебаний волны убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение сферической волны: где a- постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности амплитуды, умноженной на размерность длины.

Волновое уравнение- дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее изменения функций, характеризующих волну, во времени и пространстве. Волновое уравнение- дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее изменения функций, характеризующих волну, во времени и пространстве. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в направлении так, что с осями x, y, z образуются α, β, γ. Колебания через начало координат имеют вид: Колебания в плоскости, отстоящей от начала координат на расстоянии l=vτ: r-радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности, n- вектор нормали, для всех точек поверхности l: Обозначим k=kn – волновой вектор, Тогда отклонение от положения равновесия точки с радиус-вектором r в момент времени t:

Выразим скалярное произведение kr через проекции на координатные оси: Выразим скалярное произведение kr через проекции на координатные оси: Тогда уравнение плоской волны: где Если n совпадает с осью x, то и уравнение переходит в уравнение: Уравнение плоской волны также записывают в виде:

Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Рассмотрим производные по координатам и времени от уравнения плоской волны: Используя определение фазовой скорости : -волновое уравнение

Энергия упругой волны: Выделим в среде малый объём ΔV, обладающий потенциальной энергией упругой деформации ( ): Энергия упругой волны: Выделим в среде малый объём ΔV, обладающий потенциальной энергией упругой деформации ( ): где - относительное удлинение, Е - модуль юнга. Используем определение фазовой скорости для упругой среды : Кинетическая энергия рассматриваемого объема: Полная энергия: Плотность энергии: Продифференцируем: Получим:

Плотность энергии в каждый момент времени в различных точках пространства различна. Плотность энергии в каждый момент времени в различных точках пространства различна. В одной и тоже точке плотность энергии изменяется по закону квадрата синуса. Т.К. среднее значение квадрата синуса равно ½, то среднее значение плотности энергии в каждой точке среды будет равно: Плотность энергии и её среднее значение для всех видов волн пропорциональны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату амплитуды а. Плотности энергий продольной и поперечной волн будут равны. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф через поверхность. Ф- скалярная величина, [Ф] = размерность энергии/ размерность времени, совпадает с размерностью мощности.

Плотность потока энергии- векторная величина, численно равная потоку энергии через единичную площадку ,помещённую в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии. Плотность потока энергии- векторная величина, численно равная потоку энергии через единичную площадку ,помещённую в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии. Пусть через площадку ΔS∟, перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за времяΔt энергия ΔE. Тогда плотность потока энергии j равна: Т.к. есть поток энергии ΔФ через поверхность ΔS∟ , то: Через площадку ΔS∟ за время Δt будет перенесена энергия ΔE, заключенная в объёме цилиндра с основанием ΔS∟ и высотой v Δt (v-фазовая скорость волны). Пусть цилиндр мал и плотность энергии всех точках одинакова. Тогда энергия ΔE есть произведение плотности энергии на объём цилиндра:

Подставим в плотность потока энергии и получим: Подставим в плотность потока энергии и получим: Направление фазовой скорости как вектора совпадает с направлением распространения волны, тогда: -вектор Умова Вектор Умова как и плотность энергии u различен в различных точках пространства. В данной точке пространства он изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение: Зная j в некоторой точке пространства можно найти поток энергии через помещенную в данную точку пространства малую площадку ΔS: Полный поток через поверхность S равен сумме элементарных потоков:

Упругие волны , распространяющиеся в воздухе с частотой 20 – 20 000 Гц, вызывают у человека ощущение звука. Упругие волны в этом диапазоне распространяющиеся в любой среде называют звуковыми волнами. Упругие волны , распространяющиеся в воздухе с частотой 20 – 20 000 Гц, вызывают у человека ощущение звука. Упругие волны в этом диапазоне распространяющиеся в любой среде называют звуковыми волнами. Инфразвук- волны с частотой < 20 Гц Ультразвук – волны с частой > 20 000 Гц. Скорость звука в газе зависит от температуры: Средняя скорость теплового движения молекул: Упругие волны могут распространяться не только в газах и жидкостях, но и в твердых телах. При этом в однородных твердых телах ( в большинстве металлов - в железе, стали, алюминии) условия распространения упругих волн более благоприятны, чем, например, в воздухе; звук распространяется в металлах на большие расстояния, испытывая гораздо меньшее поглощение.