Теореми додавання і множення ймовірностей та їх наслідки презентация

Теореми додавання і множення ймовірностей та їх наслідки 1.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій 2. Повна група подій 3. Протилежні події 4. Множення подій. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей 5. Незалежні події; теорема множення ймовірностей незалежних подій. 6. Ймовірність появи хоча б однієї події. 7. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. 8. Формула повної ймовірності. 9. Ймовірність гіпотез. Формула Байєса.

1.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій Визначення: Сума (А+В) двох подій А і В – це подія, яка полягає у появі або події А, або події В, або обох цих подій А і В. Сума декількох подій – це подія, яка полягає в появі хоча б однієї з подій. Сума (А+В) двох несумісних подій А і В – це подія, яка полягає у появі однієї з цих подій (або А, або В)

Приклад: Умова: В клітці 30 щурів: 10 чорних, 5 сірих і 15 білих. Один щур втік. Яка ймовірність, що втік “кольоровий” щур?

2. Повна група подій Визначення: Події, які утворюють повну групу – попарно несумісні події, для яких поява однієї з них є достовірна подія. Протилежні події – це дві єдиноможливі події, які утворюють повну групу.

Приклад: Умова: Лабораторія отримує реактиви з фірм Дарниця, Sigma i Louis. Ймовірність отримати реактиви з Дарниці = 0,7, з Sigma = 0,2. Яка ймовірність отримати реактиви з фірми Louis?

Приклад: Умова: Ймовірність мутації в ороміненому гепатоциті становить 0,02. Знайти ймовірність, що гепатоцит не мутує.

4. Множення ймовірностей. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей. Визначення: Добуток двох подій (А і В) – це подія АВ, яка полягає в сумісній появі обох подій А і В. Добуток декількох подій – подія, яка полягає в сумісній появі всіх цих подій Умовна ймовірність РА(В) – ймовірність появи події В, розрахована з передбаченням, що подія А вже настала

Приклад: Умова: У клітці 6 білих і 4 чорні щури. На експеримент двічі виймають з клітки по одному щуру, не повертаючи. Яка ймовірність, що першим витягли чорного, а другим - білого щура?

5. Незалежні події; теорема множення ймовірностей незалежних подій. Визначення: Незалежні події: подію В називають незалежною від події А, коли поява події А не змінює ймовірності події В, тобто умовна і безумовна ймовірності події В однакові: Дві події називають незалежними, коли ймовірність їх суміщення дорівнює добутку ймовірностей цих подій, В іншому випадку події - залежні

Приклад: Умова: В першій клітці 10 білих і 5 чорних щурів, в другій клітці 8 білих і 12 чорних щурів. Яка ймовірність, що з обох кліток буде вибрано по одному білому щуру?

6. Ймовірність появи хоча б однієї події NB!: Теорема застосовується для незалежних випробувань:

Приклад: Умова: Ймовірність зараження організму щура вірусами гепатиту: вірусом А = 0,8, вірусом В = 0,7, вірусом С = 0,9. На щура сумісно подіяли вірусами А, В і С. Яка ймовірність, що щур захворіє на гепатит?

7. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Дві події називають сумісними, коли поява однієї з подій не виключає появи іншої події в одному й тому ж випробуванні

Приклад: Умова: Ймовірність зараження щура вірусом гепатиту А = 0,8 і гепатиту В = 0,7. Знайти ймовірність, що в експерименті щур захворіє?

8. Формула повної ймовірності. тільки для повної групи подій:

Приклад: Умова: Є дві клітки з чорними і білими щурами. Ймовірність з першої дістати білого щура 0.8, а з другої 0.9. Знайти ймовірність, що щур, навмання витягнутий з навмання обраної клітки – білий.

9. Ймовірність гіпотез. Формула Байєса. Коли подія А може настати тільки після появи однієї з несумісних подій, які утворюють повну групу (В1, В2, ..., Вn), і початково невідомо, після якої з В-подій настане А, події групи В називаються гіпотезами

Приклад: Умова: У віварії 2 клітки з мишами. ймовірність, того, що мишу візьмуть з 1-ї клітки = 0,6 і з 2-ї = 0,4. Ймовірність, що з 1-ї клітки миша буде білою = 0,94, а з 2-ї = 0,98. Витягнута наудачу миша виявилась білою. Яка ймовірність, що її витягли з 1-ї клітки?