Теорія ймовірностей. Випадкові події (лекція 4) презентация

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Наслідок. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці: Зауваження. Якщо ймовірність подій позначена як , то ймовірність протилежної події позначають як , тоді:

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій Ймовірність реалізації однієї із двох сумісних випадкових подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій, без ймовірності їхньої спільної появи, тобто: Р(А або В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема множення ймовірностей Імовірність події , обчислена за умови, що відбулася інша подія , називається умовною ймовірністю події A і позначається , або Можливість спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша вже відбулася: Зокрема, для незалежних подій: тобто ймовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Імовірність появи хоча б однієї події Імовірність настання події , що полягає в появі хоч би однієї з подій , незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій :

Формула повної ймовірності Ймовірність події , що може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події : , де

Комбінаторика Перестановки Розміщення Сполучення

Повторні незалежні випробування Формула Бернуллі. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події A дорівнює p, подія настане рівно m раз (байдуже, в якій послідовності), дорівнює: де .

Формула Пуассона: Використовують для рішення задач за схемою Бернулі, коли і

Формула Муавра-Лапласа Використовують для рішення задач за схемою Бернулі, коли і Для інтервала значень:

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!