Векторы в пространстве презентация

Векторы в пространстве

Содержание I. Понятие вектора в пространстве II. Коллинеарные векторы III. Компланарные векторы IV. Действия с векторами

Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора – длина отрезка AB.

Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы

Сонаправленные векторы Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.

Равные векторы Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны.

Противоположно направленные векторы Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.

Противоположные векторы Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор.

Признак коллинеарности

Определение компланарных векторов Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример:

О компланарных векторах Любые два вектора всегда компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.

Признак компланарности

Свойство компланарных векторов

Действия с векторами Сложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение

Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда Свойства сложения

Правило треугольника

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Свойства сложения

Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании).

Пример

Правило параллелепипеда

Свойства

Вычитание векторов Вычитание Сложение с противоположным вектором

Вычитание Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Вычитание

Сложение с противоположным Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору .

Умножение вектора на число

Свойства Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Свойства

Проверь себя Устные вопросы Задачи. Сложение и вычитание векторов

Устные вопросы Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны? б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены? в) любые два равных вектора коллинеарны? г) любые два сонаправленных вектора равны? д) е) существуют векторы , и такие, что и не коллинеарны, и не коллинеарны, а и коллинеарны?

Задача 3. Сложение и вычитание Выполните действия над векторами (рисунок): а) б) в) г) д) Выберите соответственные точки в пространстве