Случайные величины презентация

Лекция 3 Случайные величины

Случайные величины Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины (сокращенно: СВ) обозначаются прописными латинскими буквами: X, Y,… Случайные величины (сокращенно: СВ) обозначаются прописными латинскими буквами: X, Y,… а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами: x, y,… Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной (сокращенно: ДСВ). Если же множество возможных значений СВ несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно: НСВ).

Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий которая каждому элементарному событию ставит в соответствие число Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. Рассмотрим СВ — число появлений герба в данном опыте.

Закон распределения дискретной случайной величины Пусть X — ДСВ, которая принимает значения с некоторыми вероятностями Закон распределения ДСВ удобно задавать с помощью формулы определяющей вероятность того, что в результате опыта СВ примет значение

Для ДСВ X закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения: Для ДСВ X закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения: где первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядка возрастания) СВ, а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.

Так как события Так как события   несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице

Пример Определить, какая из таблиц может быть рядом распределения некоторой СВ: 1. 2.

Пример СВ задана рядом распределения: Найти значение

Функция распределения и ее свойства Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая

Функцией распределения СВ X называется функция которая для любого числа равна вероятности события Функцией распределения СВ X называется функция которая для любого числа равна вероятности события Таким образом, по определению Геометрически это равенство означает, что случайная точка X попадет в интервал

Свойства функции распределения 1. ограничена, т.е.  2. — неубывающая функция , т. е. если , то   обращается в ноль на минус бесконечности и равна единице в плюс бесконечности. Вероятность попадания СВ X в проме-жуток равна приращению ее функции распределения на этом промежутке, т. е.

непрерывна слева. непрерывна слева. Всякая функция F(x), обладающая свойствами 1-3, 5, может быть функцией распределения некоторой случайной величины. Функция распределения ДСВ имеет вид

Пример Найти функцию распределения СВ X, заданной рядом распределения Решение.

Плотность распределения и ее свойства Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек. Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (помимо функции распределения) является плотность распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения, плотностью вероятностей или просто плотностью) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения. Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения, плотностью вероятностей или просто плотностью) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения. Обозначается плотность распределения НСВ:

Функцию называют также дифференциальной функцией распределения; она является одной из форм закона распределения случайной величины, существует только для непрерывных случайных величин.

Свойства плотности распределения неотрицательная, т.е. 2. Вероятность попадания НСВ в промежуток равна определенному интегралу от ее плотности в пределах от a до b т. е.

3. Функция распределения НСВ может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле 3. Функция распределения НСВ может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле 4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности НСВ в бесконечных пределах равен единице, т. е. Геометрически свойство нормировки означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример Задана функция распределения НСВ X: Найти: а) плотность распределения СВ и построить графики Б)

Решение. Решение.

Числовые характеристики случайных величин Закон распределения полностью характеризует случайную величи­ну. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства закона распределения СВ. Такие числа принято называть числовыми характеристиками СВ.

Математическое ожидание случайной величины Математическим ожиданием (или средним значением) ДСВ X, имеющей закон распределения   называется число, равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности: Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением СВ.

Математическим ожиданием НСВ X с плотностью вероятностей p(x) называется число Математическим ожиданием НСВ X с плотностью вероятностей p(x) называется число Свойства математического ожидания Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной. Постоянный множитель выносится за знак МО. МО суммы СВ равно сумме их МО. МО отклонения СВ от ее МО равно нулю.

Дисперсия Дисперсией (рассеянием) СВ X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания. Обозначается дисперсия Дисперсия характеризует разброс значений СВ относительно ее МО. Из определения дисперсии следуют формулы для ее вычисления:

Свойства дисперсии Дисперсия постоянной равна нулю. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. Дисперсия СВ не изменится, если к этой СВ прибавить постоянную.

Среднее квадратическое отклонение Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата СВ что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность СВ, используют еще одну числовую характеристику — среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением СВ X называется квадратный корень из ее дисперсии, обозначают:

Пример Найти числовые характеристики СВ X, заданной рядом распределения Решение.

Основные законы распределения случайных величин Биномиальный закон распределения Дискретная СВ X имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 1, …, n с вероятностями: где 0<p<1, q=1-p, m=0,1,…n.

Числовые характеристики Математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей биномиальное распределение равно   дисперсия: среднеквадратическое отклонение

Распределение Пуассона Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения: 0,1,2,… (счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона

Числовые характеристики Математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей распределение Пуассона равно   дисперсия:

Равномерный закон распределения Непрерывная СВ X имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если её плотность вероятности p(x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

Функция распределения имеет вид: Функция распределения имеет вид: График функции распределения имеет вид:

Числовые характеристики Математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей равномерное распределение равно   дисперсия: Вероятность попадания СВ в интервал