Матрицы презентация

Тема №9 Матрицы Цель темы: матрицы и действия над матрицами: определители.

Понятие о матрице Таблица чисел вида, состоящая из m столбцов и n строк, называется матрицей размера m на n.

Определения При m=0, матрица строка. При n=0, матрица столбец. При m=n, квадратная матрица, причем число строк и столбцов называют порядком квадратной матрицы.

Равенство матриц Две матрицы А и В называют равными А=В, если они одинакового размера (то есть имеют одинаковое число строк и столбцов) и их соответствующие элементы равны.

Сложение матриц Матрицы одинакового размера можно сложить. Суммой двух матриц А и В будет матрица С , элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Сложение матриц Сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному закону.

Вычитание матриц Разностью двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С, такая что

Умножение матрицы на число Произведением матрицы А на число L называется матрица, элементы которой равны произведению числа L на соответствующие элементы матрицы А.

Умножение матриц Элемент матрицы произведения, находящийся на пересечении i-строки и k-столбца, представляет собой сумму парных произведений элементов i-строки первой матрицы на элементы k-столбца второй матрицы.

Пример умножения матриц

Пример умножения матриц

Пример 3

ПРИМЕР 3

ПРИМЕР 3

Особенность произведения матриц Известно, что произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может не выполняться.

Особенность произведения матриц

Свойство единичной матрицы Матрица вида Е – называется единичной матрицей. При умножении любой квадратной матрицы А второго порядка на единичную матрицу получаем матрицу А.

Единичная матрица n порядка

Транспонированная матрица Если в матрице А, сделать все строки столбцами с тем же номером, то получим матрицу, которую называют транспонированной к матрице А.

Диагональная матрица Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые.  

Определитель второго порядка Определителем второго порядка, соответствующим матрице А, называется число, равное а11а22-а12а21.

Пример вычисления определителя

Свойства определителя Величина определителя не меняется, если его строки заменить соответствующими столбцами Меняется знак, если поменять местами его строки или столбцы. Увеличивается в k раз, если элементы какого-либо столбца или строки увеличить в k раз, то есть общий множитель имеющийся в строке или столбце, можно выносить за знак определителя. Равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю. Равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны.

Определители третьего порядка Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число равное а11а22а33+а12а23а31+а13а21а32-а13а22а31-а11а23а32-а12а21а23

Правило треугольника

Свойства определителей третьего порядка Все свойства определителя второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка

Минор элемента определителя Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и столбца, которым принадлежит данный элемент. Например минором а12 является

Алгебраическое дополнение элемента определителя Называется его минор взятый со знаком минус

Теорема Определитель равен сумме произведений элементов какой либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

ЗАДАЧА Вычислить определитель четвертого порядка

Теорема Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями !А! и !В!, то определитель матрицы С = АВ равен произведению определителей умножаемых матриц.

Обратная матрица Только для квадратных матриц, имеющих не нулевой определитель. Если А – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, удовлетворяющая условию

Задача Вычислить обратную матрицу для матрицы А

Решение

РЕШЕНИЕ