ЧАСТЬ 2 План второй части лекции презентация

ЧАСТЬ 2 План второй части лекции 1. Интегральные характеристики 2. Специальные векторные поля Лаплас Пьер Симон (1749 – 1827 )

продолжение 3. Интегральные характеристики векторного поля Поток векторного поля – непрерывно-дифференцируемое векторное поле – поверхность в Обозначение: П – поток векторного поля

продолжение Определение (поток) Потоком П векторного поля через поверхность называется поверхностный интеграл второго рода, т.е., Замечание. – незамкнутая (замкнутая) поверхность: : поток снизу (изнутри) оток сверху (вовнутрь)

продолжение – замкнутая поверхность, ограничивающая тело V Возможны случаи: (источники) (стоки)

продолжение Циркуляция векторного поля – непрерывно-дифференцируемое векторное поле – замкнутый контур Обозначение: C – циркуляция векторного поля

продолжение Определение (циркуляция) Циркуляцией C вект вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл второго рода, т.е.,

продолжение 4. Специальные векторные поля – векторное поле – скалярное поле Специальные поля – это векторные поля, у которых либо дивергенция, либо ротор, либо дивергенция и ротор равны нулю.

продолжение Потенциальное поле Определение (потенциальное поле) Векторное называется потенциальным, если в каждой его точке Условие потенциальности:

продолжение Пример.Показать, что поле градиента потенциальное поле. Решение. M

продолжение = Ответ – потенциальное поле M

продолжение Определение (скалярный потенциал) Скалярная величина , градиент которой равен вектору потенциального поля, называется скалярным потенциалом, т.е., Техника вычисления: для нахождения скалярного потенциала векторного поля следует вычислить его циркуляцию вдоль любого пути, соединяющего фиксированную точку с текущей точкой, т.е., M

продолжение Соленоидальное поле Определение (соленоидальное поле) Векторноеназывается соленоидальным, если в каждой его точке дивергенция равна нулю, т.е., Условие соленоидальности:

продолжение Пример.условие соленоидальности поля градиента. Решение. Согласно определению, Тогда условием соленоидальности является условие: M

продолжениеj Обозначение: – оператор Лапласа Условие соленоидальности : Замечание. Поле градиента – потенциальное и соленоидальное.

продолжение Определение (векторный потенциал) Вектор , ротор которого равен вектору векторного поля , называется векторным потенциалом, т.е., Техника вычисления (см. Виноградова И.А, Олехник С.Н., Садовничий В.А.. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1.– М.: Высшая школа, 2000. С 674-675). Связь операторов Гамильтона и Лапласа ():