Формула полной вероятности и формула Байеса презентация

Формула полной вероятности и формула Байеса Теория вероятностей и математическая статистика

Полная группа событий в результате данного испытания обязательно появится хотя бы одно из них.

Теорема Если событие А может произойти только вместе с одной из гипотез Н1, Н2…Нn, образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А Р(А) = Р(Н1)РН1(А) + Р(Н2)РН2(А) + … + +Р(Нn)PHn(A) Формула полной вероятности

Пример В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В, и 4 марки С. Вероятности того, что деталь будет без брака для этих станков соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что наугад выбранная деталь будет браком?

Пример События А = «Наугад выбранная деталь будет с браком» Н1 = «Деталь обработана на станке марки А» Н2 = «Деталь обработана на станке марки В» Н3 = «Деталь обработана на станке марки С»

Пример Всего в цехе 20 станков Р(Н1) = 10/20 = ½=0,5 Р(Н2) = 6/20 = 3/10 = 0,3 Р(Н3) = 4/20 = 1/5 = 0,2 Условные вероятности PН1(А) = 1 – 0,9 = 0,1 PН2(А) = 1 – 0,8 = 0,2 PН3(А) = 1 – 0,7 = 0,3

Пример По формуле полной вероятности Р(А) = Р(Н1)·PН1(А) + + Р(Н2) ·PН2(А) + + Р(Н3) ·PН3(А) = = 0,5·0,1 + 0,3·0,2 + 0,2·0,3 = = 0,05 + 0,06 + 0,06 = 0,17

Теорема Если событие А может произойти только вместе с одной из гипотез Н1, Н2…Нn, образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность гипотез после испытания, когда событие А уже имело место РA(Нi) = Р(Нi)РНi(А) /Р(A) Формула Байеса

Пример В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В, и 4 марки С. Вероятность того, что деталь будет без брака для этих станков соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7. Наугад выбрали деталь. Она оказалась с браком. Какова вероятность того, что она была изготовлена на станке марки В?

Пример События А = «Наугад выбранная деталь будет с браком» Н1 = «Деталь обработана на станке марки А» Н2 = «Деталь обработана на станке марки В» Н3 = «Деталь обработана на станке марки С»

Пример Р(Н2) = 0,3 PН2(А) = 0,2 Р(А) = 0,17 По формуле Байеса РA(Н2) = Р(Н2) · РН2(А) / Р(A) = = 0,3· 0,2 / 0,17 = 0,06 / 0,17 = = 0,35

Пример По формуле Байеса РA(Н2) = Р(A) / (Р(Н2)РН2(А)) = Р(А) = Р(Н1)·PН1(А) + + Р(Н2) ·PН2(А) + + Р(Н3) ·PН3(А) = = 0,5·0,1 + 0,3·0,2 + 0,2·0,3 = = 0,05 + 0,06 + 0,06 = 0,17