Лекция 3 1. Линейный интеграл в векторном поле, его свойства. Работа силового презентация

Лекция 31. Линейный интеграл в векторном поле, его свойства. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля, ее гидродинамический смысл и вычисление. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его физический смысл. Плотность циркуляции. Безвихревое поле, потенциальное поле. Оператор Гамильтона, его свойства. Оператор Лапласа.

§ 1. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля. Пусть в 3-х мерном пространстве задано векторное поле, где P,Q,R интегрируемы вместе со своими производными. Пусть в пространстве задана гладкая ориентированная кривая AB.

- углы которые составляет вектор с осями координат. Считаем, что дуга AB задана параметрически: AB: - углы которые составляет вектор с осями координат. Считаем, что дуга AB задана параметрически: AB:

Тогда для координат единичного вектора касательной имеем: Тогда для координат единичного вектора касательной имеем: где соответствуют ориентации вектора совпадающего с ориентацией дуги AB, и не совпадающей с ориентацией дуги соответственно.

Длина элемента дуги может быть найдена по формуле Рассмотрим в каждой точке дуги AB скалярное произведение Скалярное произведение представляет собой непрерывную по координатам x,y,z функцию. Из непрерывности скалярного произведения следует что существует: Длина элемента дуги может быть найдена по формуле Рассмотрим в каждой точке дуги AB скалярное произведение Скалярное произведение представляет собой непрерывную по координатам x,y,z функцию. Из непрерывности скалярного произведения следует что существует:

Этот интеграл называется линейным интегралом в векторном поле. Этот интеграл называется линейным интегралом в векторном поле. Смысл интеграла: Пусть по дуге AB от действия вектора силы движется материальная точка единичной массы. Скалярное произведение есть проекция вектора на единичный вектор касательной. Если проекция получим элементарную работу, совершенную силой на перемещении dl в направлении вектора .

Чтобы найти полную работу, необходимо проинтегрировать по всей длине дуги AB: Чтобы найти полную работу, необходимо проинтегрировать по всей длине дуги AB: - полная работа. Смысл линейного интеграла - работа, совершенная эти полем. Определение. (циркуляции векторного поля). Если существует в векторном поле линейный интеграл по ориентированному замкнутому контуру вида:

то значение этого интеграла называется циркуляцией векторного поля и обозначается буквой Ц. то значение этого интеграла называется циркуляцией векторного поля и обозначается буквой Ц. Таким образом, циркуляция векторного поля есть работа векторного поля при движении по замкнутому контуру.

§ 2. Теорема Стокса. Если в 3-х мерном пространстве функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), таковы, что: 1) Непрерывны вместе со своими производными 2) В пространстве задан гладкий, ориентированный, замкнутый, ограниченный контур

3) Задана гладкая ориентированная поверхность S, натянутая на контур такая что, нормаль к поверхности и обход контура совмещены по правилу Буравчика. Тогда 3) Задана гладкая ориентированная поверхность S, натянутая на контур такая что, нормаль к поверхности и обход контура совмещены по правилу Буравчика. Тогда

Формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру натянутая на поверхность S называется формулой Стокса. В частном случае, если поле плоское, Формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру натянутая на поверхность S называется формулой Стокса. В частном случае, если поле плоское, R = 0, z = const, формула Стокса переходит в формулу Грина.

§ 3. Ротор векторного поля. Векторная запись теоремы Стокса. Пусть имеется векторное поле вида: где P,Q,R непрерывны со своими производными. Рассмотрим в векторном поле замкнутый, гладкий, ориентированный контур ℓ, который является краем гладкой ориентируемой поверхности S. Нормаль к поверхности S и обход контура связаны по правилу Буравчика.

Найдем работу, которую Найдем работу, которую совершает векторное поле при движении по замкнутому контуру ℓ. Так как на контур ℓ натянута ориентируемая поверхность S, то

Учитывая связь между поверхностными интегралами 2-го и 1-го рода имеем: Выражение, стоящее под знаком поверхностного интеграла 1-го рода можно записать как скалярное произведение:

и единичного вектора нормали к поверхности Таким образом, работа по замкнутому контуру может быть записана:

Вектор характеризует вращательную способность поля. Если он равен 0, то поле не совершает работу при движении по замкнутому контуру. Вектор характеризует вращательную способность поля. Если он равен 0, то поле не совершает работу при движении по замкнутому контуру. Вектор называется ротором векторного поля (вихрем векторного поля) и обозначается:

Векторная запись теоремы Стокса Теорема Стокса связывает: Слева в формуле стоит циркуляция векторного поля по замкнутому контуру ℓ.

Это векторная запись теоремы Стокса. Смысл: Циркуляция векторного поля равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S, натянутую на контур ℓ.

§ 4. Плотность циркуляции, связь её с ротором. Пусть в векторном поле В произвольной точке пространства M задан вектор . Найдем циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру ℓ, описываемому около точки M и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору .

Если циркуляцию разделим на площадь контура ℓ, то получим число, характеризующее среднюю плотность циркуляции в контуре ℓ. Если циркуляцию разделим на площадь контура ℓ, то получим число, характеризующее среднюю плотность циркуляции в контуре ℓ.

Определение. (плотности циркуляции) Плотностью циркуляции в точке М по направлению вектора называется число, обозначаемое и вычисляемое по формуле: Определение. (плотности циркуляции) Плотностью циркуляции в точке М по направлению вектора называется число, обозначаемое и вычисляемое по формуле: Когда контур ℓ стягивается в точку M. Можно показать, что плотность циркуляции в точке M по направлению вектора равна проекции ротора векторного поля на направление .

§ 5. Вычисление циркуляции. § 5. Вычисление циркуляции. Ее можно вычислить 2 способами: По определению, путем сведения к криволинейному интегралу 2-го рода. 2) С помощью теоремы Стокса. Пример: На практике.

Определение. Векторное поле называется потенциальным, в некоторой односвязанной области V, если существует такая функция , что . Замечание. Функцию  называют потенциалом векторного поля . Определение. Векторное поле называется потенциальным, в некоторой односвязанной области V, если существует такая функция , что . Замечание. Функцию  называют потенциалом векторного поля .

Теорема. (о постоянстве потока соленоидального поля). Теорема. (о постоянстве потока соленоидального поля). Поток соленоидального поля через любое сечение векторной трубки является постоянной величиной. Доказательство. Рассмотрим векторную трубку в векторном поле и возьмем пространство, заключенное в трубке, ограниченное сечениями S1 и S2. Объем векторной трубки, заключенный между сечениями S1 и S2 – замкнутый.

Поверхность, ограничивающая объем состоит из 3-х поверхностей , и , которые имеют единичные нормали , , , направленные как указано на рисунке. Поток векторного поля через поверхность S: S = S1 + S2 + Sб можно вычислить по теореме Остроградского: Векторное поле соленоидально Откуда следует, что