Математический анализРаздел: Дифференциальное исчисление Тема: Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопита презентация

Лектор Белов В.М.

§8. Основные теоремы дифференциального исчисления ТЕОРЕМА 1 (Ролля). Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Если f(a) = f(b), то существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что f () = 0 . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Ролля.

Если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 1 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка  такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ox. Если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 1 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка  такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ox. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа). Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Лагранжа. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы Лагранжа. Следовательно, если функция y = f(x) удовлетворяет указанным в теореме 2 условиям, то на интервале (a; b) существует хотя бы одна точка  такая, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей AB. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Замечание. Формулу (2) можно переписать в виде Замечание. Формулу (2) можно переписать в виде f(b) – f(a) = f ()  (b – a) . (3) Формулу (3) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. СЛЕДСТВИЕ теоремы Лагранжа. Пусть функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и дифференци- руема на (a; b). Функция f(x) принимает на [a; b] постоянное значение C  f (x) = 0, x(a; b). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ТЕОРЕМА 3 (Коши). ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f(x) и (x) непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на (a; b), причем   (x)   0, x(a; b). Тогда существует хотя бы одна точка (a; b) такая, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

§9. Использование производной при вычислении пределов ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя). Пусть x0ℝ̄ и выполняются следующие условия: 1) функции f(x) и (x) определены и непрерывны в некоторой -окрестности x0, за исключением возможно самой x0; 2) 3) функции f(x) и (x) дифференцируемы в U*(x0,) , причем  (x)  0 ,  xU*(x0,) . Тогда, если (конечный или бесконечный), то причем эти два предела будут равны. Т.е.

Замечания. Замечания. 1) Если f (x)  и  (x)  тоже являются б.м. (б.б.) при x  x0 , то правило Лопиталя можно применить повторно. 2) Если не существует, то правило Лопиталя непри- менимо. При этом может существовать. ПРИМЕР. Найти

§10. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции (самостоятельно) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей) на интервале (a;b) если x1,x2(a;b) таких, что x1 < x2  выполняется неравенство f(x1) < f(x2)  ( f(x1)  f(x2) ). Иначе говоря, функция y = f(x) называется возрастающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует большее значение функции. Функция y = f(x) называется убывающей (невозрастающей) на интервале (a;b) если x1,x2(a;b) таких, что x1 < x2  выполняется неравенство f(x1) > f(x2) ( f(x1)  f(x2) ). Иначе говоря, функция y = f(x) называется убывающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует меньшее значение функции.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. Замечание. Из определения  если f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то на этом интервале x и соответствующее ему f(x) будут иметь одинаковый (разный) знак. ТЕОРЕМА 1(необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть y = f(x) дифференцируема на интервале (a;b). Тогда 1) если y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположи- тельна), т.е. f (x)  0 , x(a;b) ( f (x)  0 , x(a;b) ); (необходимое условие возрастания (убывания) функции) 2) если f (x) > 0 , x(a;b) ( f (x) < 0 , x(a;b) ) , то функция y = f(x) на (a;b) возрастает (убывает). (достаточное условие возрастания (убывания) функции) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Т.1, стр. 145.)

2. Экстремумы функции (самостоятельно) Пусть x0D(f), x0 – внутренняя точка D(f) (т.е. существует не- которая окрестность точки x0 , целиком лежащая во мно- жестве D(f)). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x0 называется точкой максимума функции f(x) если существует такая -окрестность U(x0,) точки x0, что f(x) < f(x0) , xU*(x0,). Значение функции точке максимума называется максимумом функции. Точка x0 называется точкой минимума функции f(x) если существует такая -окрестность U(x0,) точки x0, что f(x) > f(x0) , xU*(x0,). Значение функции точке минимума называется минимумом функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстре- мумами.

Замечания: Замечания: 1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. Они показывают, в каком отношении находятся значение функции в точке x0 и в других точках. Различие – в области действия понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера, максимум и минимум – понятия локального характера. Поэтому в некоторой литературе употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции и «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.

2) Функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов. 2) Функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов.

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Пусть x0 – точка экстремума функции f(x) и f(x) – диф- ференцируема в точке x0 . Тогда f (x0) = 0 . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ 2. Если x0 – точка экстремума функции f(x) и кривая y = f(x) имеет невертикальную касательную в точке M0(x0 ,f(x0)) , то эта касательная – горизонтальная. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле- ние. Т.1, стр. 148.)

Точки, в которых производная функции f(x) равна нулю, называются стационарными точками функции f(x). Точки, в которых производная функции f(x) равна нулю, называются стационарными точками функции f(x). ТЕОРЕМА 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть x0 – внутренняя точка D(f) , f(x) непрерывна в U(x0,) f(x) дифференцируема в U(x0,) или U*(x0,) . Если при переходе через точку x0 производная функции f(x) меняет знак, то x0 является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума, если с минуса на плюс – то x0 – точка минимума. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно (Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле- ние. Т.1, стр. 150-151.)

Замечание. Замечание. Из теоремы 3  точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной). Стационарные точки функции f(x) и точки, в которых f (x) не существует, называются критическими точками I рода (критическими точками по первой производной).

ТЕОРЕМА 4 (второе достаточное условие экстремума). ТЕОРЕМА 4 (второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – внутренняя точка D(f)  и f(x) n раз дифференцируема в точке x0 , причем f (x0) = f (x0) = … = f (n – 1)(x0)  = 0 , f (n)(x0)  0 . Тогда: 1) если n – четное и f (n)(x0) > 0 , то x0 является точкой минимума функции f(x) ; 2) если n – четное и f (n)(x0) < 0 , то x0 является точкой максимума функции f(x) ; 3) если n – нечетное, то x0 не является точкой экстремума функции f(x) . Замечание. На практике пользоваться 2-м достаточным усло- вием экстремума менее удобно, чем 1-м. Действительно, 1) сложно вычислить f (n)(x0); 2) определяются не все промежутки монотонности функции. Но иногда, все же лучше применить 2-е достаточное условие. Например, если критических точек бесконечно много.