Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и интеграл презентация

Первообразная и неопределенный интеграл

Если для любого х из множества Х выполняется равенство F`(x)=f(x),то функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на данном множестве Пример1. f(x)=3х. Пример2. f(x)= .

Таблица первообразных Таблица первообразных

Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции. Правило1. Если F(x) есть первообразная для f(x), a P(x) –первообразная для р(х),то F(x)+P(x) есть первообразная для f(x)+р(х). = Правило2. Если F(x) есть первообразная для f(x), a k-постоянная , то функция kF(x) –первообразная для kf(x). Правило3. Если F(x) есть первообразная для f(x), a k и b постоянные, причем k0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b).

Таблица нахождения неопределенных интегралов

Найти общий вид первообразных: Найти общий вид первообразных: 1. f(x)=9+sin3x. Решение. F(x)=cos3x+C=3cos3x+C 2. f(x)=сos2x +2. Решение. F(x)=+2x+C Доказать, что функция у=F(x)является первообразной для функции f(x) 3. F(x)=, f(x)=. Решение. == = + = =, F(x) =

Фигура, ограниченная графиком непрерывной, неотрицательной функции у=f(x), прямыми х=а, х=b и осью Ох, называется криволинейной трапецией. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, неотрицательной функции у=f(x), прямыми х=а, х=b и осью Ох, называется криволинейной трапецией. Формула вычисления площади криволинейной трапеции: S=F(b)-F(a)

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и параболой: Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и параболой: y=1-, y=0 Решение. Построим график функции y=1- S=F(b)-F(a) F(x)= x– S=1– Ответ: кв.ед y=-2 Решение. F(x)= S== . Ответ:

Определенный интеграл обозначают: , который читается: «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс». Здесь числа a и b называются пределами интегрирования: а – нижним пределом, b – верхним пределом. Определенный интеграл обозначают: , который читается: «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс». Здесь числа a и b называются пределами интегрирования: а – нижним пределом, b – верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница: =F(b) – F(a) =F(x) =F(b)-F(a).

= = = = = Ответ: - - Ответ: - Решение. = 5x. 5x . Ответ: (

Чтобы определить площадь заштрихованной плоской фигуры нужно из площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y₁=f₁(x), вычесть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у₂=f₂(x). Тогда искомая площадь: S=–f₁(x)–f₂(x)) Чтобы определить площадь заштрихованной плоской фигуры нужно из площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y₁=f₁(x), вычесть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у₂=f₂(x). Тогда искомая площадь: S=–f₁(x)–f₂(x))

y=, y=2, x=-2, x=1 y=, y=2, x=-2, x=1 Решение. Построим график функции: y=. m=- , n=1-2+4=3 Найдем точки пересечения. = x₁=-2, x₂=2.

у= у=8, х=1 у= у=8, х=1 Решение. Построим график функции у= - кубическая парабола, у=8 – прямая. Найдем точки пересечения 8, х=2.