Динамика системы материальных точек. (Лекция 5) презентация

ЛЕКЦИЯ № 3 I. Динамика системы материальных точек 1.Система материальных точек. Центр масс (инерции). Аддитивность массы в нерелятивистской механике. 2. Полный импульс системы материальных точек. 3. Закон сохранения импульса. Внутренние и внешние силы. 4. Теорема о движении центра масс. Система центра масс. II. Работа и энергия 5. Механическая работа. Мощность. 6. Кинетическая энергия частицы и системы частиц. 7. Консервативные, неконсервативные и гироскопические силы.

Система материальных точек Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек с заданными массами , где - номер частицы. Состояние системы материальных точек задаётся путём определения состояния всех материальных точек, входящих в данную систему: Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, которая характеризует движение системы этих точек как некого целого, и положение которой характеризуется распределением массы этой системы. Ее радиус-вектор равен:

Центр масс ( инерции )

Аддитивность массы в нерелятивистской механике. Полная масса системы материальных точек: в области малых скоростей находится путём сложения масс всех частиц систем (здесь используется аддитивность массы в нерелятивистской механики). В релятивистской механике (v ~c) масса системы частиц зависит от энергии взаимодействия между частицами, поэтому последняя формула не справедлива.

Скорость центра масс системы материальных точек Взяв производную по времени, получим скорость центра масс: где - скорость i-ой материальной точки системы Отметим, что из формулы в красной рамке следует

Полный импульс системы материальных точек (частиц) В нерелятивистской механике полный импульс системы материальных точек равен сумме импульсов всех частиц системы: где - импульс i–ой частицы. Так как , где - скорость ц.м. то импульс системы частиц можно определить по формуле:

- импульс центра масс Импульс системы материальных точек (импульс центра масс) равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Таким образом, связь импульса pc со скоростью υc такая же, как для материальной точки с массой m (масса системы).

Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы частиц Тела, не входящие в состав рассматриваемой системы, называют внешними телами, а силы, действующие на систему со стороны этих тел – внешними силами. Силы взаимодействия между телами внутри системы, называют внутренними силами. Результирующая всех внутренних сил действующих на i-ое тело:

Обозначим – результирующая всех внешних сил приложенных к i-ой точке системы. Обозначим – результирующая всех внешних сил приложенных к i-ой точке системы. По второму закону Ньютона можно записать систему уравнений:

Сложим эти уравнения и сгруппируем попарно силы и Сложим эти уравнения и сгруппируем попарно силы и По третьему закону Ньютона , поэтому все выражения в скобках в правой части уравнения равны нулю. Тогда получаем: Вектор – суммарный(результирующий) вектор всех внешних сил, тогда:

Скорость изменения импульса системы равна векторной сумме всех внешних Скорость изменения импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на эту систему. Это уравнение называют основным уравнением динамики поступательного движения системы тел. Так как импульс системы то: Наконец, можно записать основное уравнение динамики поступательного движения системы тел в виде:

Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и на которую действует сила, равная векторной сумме внешних сил, приложенных к системе: Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и на которую действует сила, равная векторной сумме внешних сил, приложенных к системе: Это утверждение представляет собой теорему о движении центра масс.

Закон сохранения импульса

Система центра масс Система отсчёта, движущаяся со скоростью центра масс, называется системой центра масс(с.ц.м). В этой системе отсчёта начало системы координат помещается в центр масс, поэтому , следовательно, Это означает, что полный импульс системы частиц равен нулю, и наблюдается только относительное движение частиц, поэтому она удобна для анализа столкновения частиц.

При стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд движется вперед, а орудие – откатывается назад. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс. При стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд движется вперед, а орудие – откатывается назад. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс.

Механическая работа. Мощность. Изменение механического движения тела вызывается силами, которые действуют на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергии между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Примеры вычисления работы

Кинетическая энергия частицы.

Консервативные и неконсервативные силы. Консервативными называются силы, работа которых не зависит от того, по какой траектории произошло перемещение тела, а зависит только от его начального и конечного положений. Примеры таких сил : упругие силы и гравитационные силы. Работа упругих сил была рассмотрена ранее.