Импульсные сигналы и переходные процессы. Общие сведения об импульсных сигналах презентация

Импульсные сигналы и переходные процессы. Общие сведения об импульсных сигналах. В электрических цепях наряду с непрерывными сигналами, которые описываются непрерывными функциями времени, часто применяются и импульсные сигналы. Они существуют не на всей временной оси, и или их величина не произвольна. Названия импульсным сигналам дают в соответствии с их формой. Основными простейшими импульсными сигналами являются сигналы, представленные на рис. 6.1: 1 – положительный перепад амплитуды Е; 2 – отрицательный перепад амплитуды Е, задержанный на tu; 3 – одиночный прямоугольный импульс, есть сумма двух предыдущих сигналов. Кроме перечисленных сигналов в импульсной технике широко применяются сигналы, показанные на рис. 6.2: 1 – треугольный импульс, 2 – пилообразный импульс, 3 – экспоненциальный импульс.

Переходная и импульсная характеристика цепи 1. Переходной характеристикой h(t) линейной цепи называют отклик y(t)= h(t) (выходной сигнал) цепи на единичное ступенчатое воздействие x(t)=1(t) напряжения или тока, при нулевых начальных условиях. Если ступенчатое воздействие имеет амплитуду Х0, то ПХ находится так Вид переходной характеристики цепи зависит от схемы цепи.

Общие сведения о переходных процессах в линейных цепях Различают два режима работы цепи : 1. установившейся, когда параметры сигналов постоянны во времени; 2. неустановившейся - параметры сигналов во времени изменяются. Переходным процессом (режимом) называется процесс изменения токов и напряжений в цепи при ее переходе от одного установившегося режима к другому. Причина переходного процесса различные коммутации в цепи. Коммутацией принято называть мгновенное изменение схемы соединения или параметров ее элементов. Принято считать, что коммутация происходит мгновенно, в момент времени t=0, с помощью идеального ключа, ключ это двухполюсник с двумя состояниями с : 0 –ключ замкнут и ∞ - ключ разомкнут, или ступенчатого сигнала. Переходные процессы возникают в цепях, содержащих энергоемкие элементы (индуктивные и емкостные элементы), и обусловлены тем, что энергия магнитного и электрического полей не может изменяться мгновенно т.к. в этом случае создается бесконечная мощность. В резистивных цепях переходные процессы протекаю мгновенно.

Законы коммутации В основе анализа переходных процессов лежат законы коммутации: Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации (при t=+0), ток через индуктивность сохраняет такое же значение, как и перед коммутацией (при t= - 0 ), т.е.: Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации (при t= +0), напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и перед коммутацией (при t= -0), т.е.: Характер переходного процесса зависит от числа реактивных элементов, от формы токов и напряжений источников, от схемы цепи, от начальных условий и от анализируемой величины (ток или напряжение).

Начальные условия переходного процесса Под начальными условиями понимают значения тока и напряжения на элементах схемы непосредственно в момент коммутации. Различают два вида начальных условий: независимыми или зависимыми. Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся законам коммутации, они не зависят от коммутаций в схеме. Это напряжение на емкости uc(0) и ток индуктивности iL(0) в момент коммутации. Если в момент коммутации они равны нулю, то начальные условия называют нулевыми. В противном случае – ненулевыми. Остальные начальные условия: напряжение и ток в ветви с сопротивлением uR(0)   и    iR(0), напряжение на индуктивности uL(0) , ток в ветви с емкостью iC(0) - это зависимые начальные условия. Они не подчиняются законам коммутации и могут изменяться скачком.

Схемы замещения реактивных элементов при коммутации Из законов коммутации следует Сразу после коммутации (при t=+0) индуктивный элемент эквивалентен независимому источнику тока, т.к. . При нулевых начальных условиях индуктивный элемент эквивалентен разрыву цепи (холостой ход - ХХ)., емкостной элемент эквивалентен источнику напряжения, т.к. а при нулевых начальных условиях - короткому замыканию (КЗ). При постоянном токе, когда t= - 0 и t=∞, т.к. ω=0, индуктивность эквивалентна КЗ, а емкость – ХХ (рис.1.2),.

6.3. Методы анализа линейных цепей при импульсном воздействии Задача анализа цепи заключается в отыскании отклика при известном входном сигнале (воздействии). При импульсном воздействии, когда x(t) – произвольная функция времени, основными методами анализа цепей являются: 1) классический метод; 2) спектральный метод; 3) операторный метод; 4) временной (метод интеграла Дюамеля). Расчет переходной характеристики есть частный случай расчета переходного процесса.

1.3. Расчет переходных процессов в линейных цепях В простых цепях расчет переходных процессов и анализ проводят классическим методом. Он обладает физической наглядностью. В сложных цепей применяют операторный метод. Класс. метод состоит в следующем 1. Составляют систему уравнений на основании законов Кирхгофа для мгновенных значений напряжения и тока для состояния цепи после коммутации. Для простых цепей эту систему уравнений можно исключением переменных свести к одному в общем случае неоднородному дифференциальному уравнению относительно какой-либо величины.                  (4.4.1) где  an, ., a0 – постоянные коэффициенты; t – время; f(t) – внешнее воздействие (ЭДС, ток); y – искомая функция (ток, напряжение, .); n – порядок уравнения (цепи) обычно равен числу реактивных элементов в схеме. В качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на ёмкости. 2. Записывают общее решение линейного дифференциального уравнения. Оно. состоит их двух составляющих y(t) = y1(t) + y2(t), (4.4.3) где y2(t) – это частное решение неоднородного уравнения, оно зависит от источников и полученные при этом токи и напряжения называют установившимися или принужденными. Частое решение находят в стационарном режиме в послекоммутационной цепи, когда переходной процесс закончен , т.е. когда t → ∞, т.к., y1(t) – общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, когда f = 0. Это решение не зависит от воздействия (x) и называется свободной составляющей общего решения. Оно известно: где pi – корни характеристического уравнения, Ai – постоянные интегрирования. 3. Находят вынужденную составляющую, по схеме замещения когда t  . y2(t)= у(t→∞) 4. Корни pi находят из решения характеристического уравнения: 5. Постоянные интегрирования Ai уравнений для свободных составляющих определяют из начальных условий, используя два закона коммутации: - для индуктивности и - для емкости, по схеме замещения при t 0. 6. Проводят анализ корней и записывают общее решение.

Этапы расчета переходного процесса в цепи классическим методом Этапы расчета переходного процесса в цепи классическим методом: 1. Найти независимые начальные условия, то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса Uc(-0) и IL(-0). 2. Составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и методом исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока i или напряжения u. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе. 3. Составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. 4. Найти для общего решении постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называют установившимися. Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

6.3.2. Спектральный метод анализа Спектральный метод применяется в тех случаях, когда входной сигнал может быть представлен спектром. Сигнал имеет спектр, когда он обладает конечной энергией, т.е. удовлетворяет условию: Этапы применения метода (рис. 6.3): 1) по известному сигналу находится его спектр: – прямое преобразование Фурье; 2) по известной схеме электрической цепи определяется ее частотная передаточная характеристика: ; 3) находится спектральная плотность выходного сигнала: ; 4) по известному спектру выходного сигнала находится сам выходной сигнал - обратное преобразование Фурье .

6.3.3. Операторный метод анализа Операторный метод расчета переходных процессов применим при любых входных сигналах. Метод основан на том, что функции s(t)  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F(p) комплексной переменной p = α + j, которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что, в свою очередь, определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. Соответствие между изображением F(p) и оригиналом s(t) в сокращенной записи обозначается: F(p) = s(t) или F(p) = L{s(t)}. Порядок расчета переходных характеристик заключается в следующем (рис. 6.4): 1) находим операторное представление входного сигнала: – прямое преобразование Лапласа; 2) находим операторную передаточную функцию цепи: ; 3) находим операторное представление отклика: ; 4) с помощью обратного преобразования Лапласа находим отклик цепи: .

6.3.4. Метод интеграла Дюамеля Метод позволяет находить отклик цепи при нулевых начальных условиях при произвольном входном сигнале и известной переходной (импульсной) характеристике цепи h(t) (рис. 6.8). Произвольный импульсный сигнал x(t) (рис. 6.9) заменим совокупностью элементарных ступенчатых сигналов с амплитудами ∆х, возникающими в моменты времени τк со сдвигом по времени на . где х'(τк) – производная от сигнала в момент времени τк, она равна тангенсу угла наклона сигнала в момент времени τк. Тогда отклик на элементарный ступенчатый сигнал . Используя принцип суперпозиции и переходя к пределу суммы при Δτ→0 (Δτ = dτ), можно записать . Последнее выражение и называется интегралом Дюамеля. Оно позволяет получить отклик на заданное воздействие в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование ведется по τ – текущее время (0 < τ < t), причем выражения х'(τ) и h(t – τ) получают из выражений для х(t) и h(t) путем замены t на τ и t – τ.

Передача импульсных сигналов через простейшие цепи Электрические цепи служат для связи различных устройств между собой. При этом ставится различные задачи например: неискаженная передача сигнала или преобразования сигналов одной формы в другую. Передача импульсных сигналов через дифференцирующую цепь Цепь, состоящая из RC-элементов (рис) называется дифференцирующей RC-цепью. Установим связь между выходным u2 и входным u1 напряжениями, считая входной сигнал u1 произвольным. Используя второй закон Кирхгофа и соотношения, устанавливающие связь между напряжениями и токами на элементах схемы, после дифференцирования получим. Последнее означает, что выходной сигнал есть производная от входного сигнала. Отсюда и название этой цепи – дифференцирующая цепь.

Рассмотрим два частных случая. А. Входной сигнал – ступенчатое напряжение амплитудой Е . Используя классический метод, определим отклик цепи. 1) Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду: 2) Запишем общее решение 3) Найдем вынужденную составляющую общего решения в стационарном (установившемся) режиме, когда t  ∞ (ω = 0), по схеме замещения исходной цепи при ω = 0 Из схемы следует, что u2(ω=0)= 0. 4) Найдем показатель экспоненты р1. Коэффициенты р находят, как корни характеристического уравнения RCр1 + 1 = 0. Отсюда р1 = – (RC)–1. 5) Найдем произвольную постоянную A1 из начальных условий t = +0 и законам коммутации для емкости используя схему замещения.(при t = +0, ω  ∞). u2(0)=A1=E. Отсюда А1=Е. . 6) Запись общего решения: Временная диаграмма приведена на рис.- экспоненц.импульс. Он имеет два параметра: 1. Е – амплитуда экспоненциального импульса 2. τ=RC – постоянная времени

Б. Пусть входной сигнал – одиночный прямоугольный импульс амплитудой Е и длительностью tи. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и аналитически записывается как Зная отклик на ступенчатый сигнал и используя принцип суперпозиции, можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала: На рис 6.15 показаны три временные диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и tи.

. . Передача импульсных сигналов через интегрирующую цепь Цепь, состоящая из RC-элементов (рис) называется интегрирующей RC-цепью. Установим связь между выходным u2=F(u1), считая входной сигнал u1 произвольным. Используя второй закон Кирхгофа и соотношения, устанавливающие связь между напряжениями и токами на элементах схемы, после подстановки в первое уравнение получим. Последнее означает, что выходной сигнал есть интеграл от входного сигнала. Отсюда и название этой цепи – интегрирующая цепь

Рассмотрим два частных случая. А. Входной сигнал – ступенчатое напряжение амплитудой Е . Используя классический метод, определим отклик цепи. 1) Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду: 2) Запишем общее решение 3) Найдем вынужденную составляющую общего решения в стационарном (установившемся) режиме, когда t  ∞ (ω = 0), по схеме замещения исходной цепи при ω = 0 Из схемы следует, что u2(ω=0)= 0. 4) Найдем показатель экспоненты р1. Коэффициенты р находят, как корни характеристического уравнения RCр1 + 1 = 0. Отсюда р1 = – (RC)–1. 5) Найдем произвольную постоянную A1 из начальных условий t = +0 и законам коммутации для емкости используя схему замещения.(при t = +0, ω  ∞). u2(0)=A1=E. Отсюда А1=Е. . 6) Запись общего решения: Временная диаграмма приведена на рис.- экспоненц.импульс. Он имеет два параметра: 1. Е – амплитуда экспоненциального импульса 2. τ=RC – постоянная времени

Связь между дифференциальным уравнением и характеристиками электрической цепи В общем случае связь между входным сигналом и выходным сигналами устанавливается ДУ Связь дифференциального уравнения с частотной передаточной функцией.

Дисциплина: Электротехника и электроника Лектор: Погодин Дмитрий Вадимович Кандидат технических наук, доцент кафедры РИИТ (кафедра Радиоэлектроники и информационно-измерительной техники)