Контур с током в магнитном поле презентация

Лекция 9 Контур с током в магнитном поле

3.4. Магнитный момент тока. 3.4. Магнитный момент тока. 3.5. Магнитное поле на оси кругового витка с током. 3.6. Момент сил, действующих на контур с током в магнитном поле. 3.7. Энергия контура с током в магнитном поле. 3.8. Контур с током в неоднородном магнитном поле. 3.9. Работа, совершаемая при перемещении контура с током в магнитном поле.

3.4. Магнитный момент тока. Во многих случаях приходится иметь дело с замкнутыми токами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием от них до точки наблюдения. Такие токи будем называть элементарными. Пример подобных токов мы имеем во всех атомах – это движущиеся по замкнутым орбитам электроны. Эти токи, вследствие малости атомных размеров можно считать элементарными. Рассмотрим плоский круговой виток с током радиуса R. Характеристиками витка являются: сила тока I, текущего по витку, площадь S, обтекаемая током и ориентация витка в пространстве, определяемая направлением единичного вектора нормали к плоскости витка. Совокупность всех этих трех характеристик образует магнитный момент витка с током, который по определению равен: В теории магнетизма магнитный момент кругового витка с током играет такую же важную роль, как и электрический дипольный момент в теории электричества.

3.5. Магнитное поле на оси кругового витка с током. Согласно закону Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока dl на расстоянии r от него есть , где α – угол между элементом тока и радиус-вектором , проведенным из этого элемента в точку наблюдения; r - расстояние от элемента тока до точки наблюдения. В нашем случае α = π/2, sinα = 1; , где а – расстояние, отсчитываемое от центра витка до рассматриваемой точки на оси витка. Векторы образуют в этой точке конус с углом раствора при вершине 2 = π - 2β, где β – угол между отрезками а и r. Из соображений симметрии ясно, что результирующее магнитное поле на оси витка будет направлено вдоль этой оси, то есть вклад в него дают только те составляющие, которые параллельны оси витка:

Результирующую величину индукции магнитного поля B на оси витка получим, проинтегрировав это выражение по длине контура от 0 до 2πR: Результирующую величину индукции магнитного поля B на оси витка получим, проинтегрировав это выражение по длине контура от 0 до 2πR: или, подставив значение r: . В частности, при а = 0 находим индукцию магнитного поля в центре кругового витка с током: Этой формуле можно придать другой вид, воспользовавшись определением магнитного момента витка с током: . Последнюю формулу можно записать в векторном виде:

3.6. Момент сил, действующих на контур с током в магнитном поле Поместим в однородное магнитное поле с индукцией плоский прямоугольный контур (рамку) с током. Согласно закону Ампера, на каждый элемент тока рамки действует сила . Результирующая всех этих сил, как нетрудно убедиться, создает пару сил и , стремящихся развернуть плоскость рамки перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Если a – короткая сторона рамки, то величина действующей на нее силы будет . Момент пары сил по величине равен: , где b – длинная сторона рамки ( - плечо силы F, α – угол между нормалью к плоскости рамки и силовой линией магнитного поля). Следовательно, можем написать: , где S = ab – площадь рамки. Учитывая, что магнитный момент рамки , последнюю формулу можно переписать в векторном виде:

3.7. Энергия контура с током в магнитном поле. Контур с током, помещенный в магнитное поле, обладает запасом энергии. Действительно, чтобы повернуть контур с током на некоторый угол dα в направлении, обратном направлению его поворота в магнитном поле, необходимо совершить работу против сил, действующих на этот контур со стороны поля. По величине эта работа равна . Совершенная над контуром работа идет на увеличение его энергии. Поворачиваясь в первоначальное положение, контур возвратит затраченную на его поворот работу, совершив ее над какими-либо телами. Следовательно, запасенная контуром энергия есть: . (при выводе этой формулы мы приняли, что при энергия контура W, определенная с точностью до произвольной постоянной, равна нулю). Полученную формулу можно написать также в виде:

Устойчивое равновесие Неустойчивое равновесие Устойчивое равновесие Неустойчивое равновесие Из приведенной формулы видно, что устойчивому положению равновесия контура с током в магнитном поле соответствует ориентация, при которой векторы и параллельны (α = 0); в этом случае энергия контура минимальна и равна . Неустойчивому положению равновесия соответствует ориентация, при которой векторы и антипараллельны (α = π); в этом случае энергия контура максимальна и равна .

3.8. Контур с током в неоднородном магнитном поле Если контур с током находится в неоднородном магнитном поле, то на него, помимо вращающего момента , действует также сила , обусловленная наличием градиента магнитного поля. Проекция этой силы на направление касательной к силовой лини поля в данной точке определяется по формуле: . Согласно написанной формуле, сила, действующая на контур в неоднородном магнитном поле, зависит от взаимной ориентации векторов и . Если эти векторы параллельны, то сила положительна и контур будет втягиваться в область более сильного поля; если векторы и антипараллельны, то сила отрицательна и контур будет выталкиваться из поля.

3.9. Работа, совершаемая при перемещении контура с током в магнитном поле Рассмотрим отрезок проводника с током, способный свободно перемещаться по двум направляющим во внешнем магнитном поле. Магнитное поле будем считать однородным и направленным под углом α по отношению к нормали к плоскости перемещения проводника. Как видно из рисунка, вектор имеет две составляющие и , из которых только составляющая создает силу, действующую в плоскости перемещения проводника. По абсолютной величине эта сила равна: , где I – сила тока в проводнике; l – длина проводника; B – индукция магнитного поля. Работа этой силы на элементарном пути перемещения ds есть: Произведение lds равно площади dS, заметанной проводником при движении, а величина BdScosα равна потоку магнитной индукции dФ через эту площадь. Следовательно, можем написать: dA=IdФ. Рассматривая отрезок проводника с током как часть замкнутого контура и интегрируя это соотношение, найдем работу при перемещении контура с током в магнитном поле: A = I(Ф2 – Ф1) где Ф1 и Ф2 обозначают поток индукции магнитного поля через площадь контура соответственно в начальном и конечном положениях.