Переходные процессы в линейных электрических цепях. (Лекция 6) презентация

Лекция 6

Переходные процессы в линейных электрических цепях В электрических цепях возможны включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник. При коммутации в цепи возникают переходные процессы, т.е. процессы перехода токов и напряжений от одного установившегося значения к другому. Изменения  токов  и напряжений  вызывают    одновременное  изменение  энергии электрического и магнитного полей, связанных с элементами цепи - емкостями и индуктивностями. Однако энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны законы коммутации.

Первый закон. В любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации Первый закон. В любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации , где   - ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации, сразу после коммутации. Знак "+" в формуле обычно не записывается. Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации; - ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

Второй закон. Напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации. Второй закон. Напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации. , где   - напряжение на емкости в момент коммутации; - напряжение на емкости непосредственно перед моментом коммутации.

Допущения, применяемые при анализе переходных процессов: Допущения, применяемые при анализе переходных процессов: 1. Полагают, что переходный процесс длится бесконечно большое время. 2. Считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги. 3. Принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы в цепи закончились.

Свободный ток определяют по формуле: Свободный ток определяют по формуле: Количество слагаемых в формуле равно числу реактивных элементов (индуктивностей и емкостей) в схеме. - корни характеристического уравнения. - постоянные интегрирования, определяются с помощью начальных условий. Начальные условия - это переходные токи и напряжения в момент коммутации, в момент времени , равный нулю. Начальные условия могут быть независимыми или зависимыми.

В соответствии с классическим методом расчета, переходный ток в ветви схемы представляют в виде суммы принужденного и свободного токов. В соответствии с классическим методом расчета, переходный ток в ветви схемы представляют в виде суммы принужденного и свободного токов. где  - принужденный ток, определяется в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешним источником питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, принужденный ток будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону; - свободный ток, определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний источник питания. Свободный ток создается внутренними источниками питания: ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости.

Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся законам коммутации, законам постепенного, непрерывного изменения. Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся законам коммутации, законам постепенного, непрерывного изменения. Это напряжение на емкости и ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации. Остальные начальные условия: напряжение и ток в ветви с сопротивлением и , напряжение на индуктивности , ток в ветви с емкостью - это зависимые начальные условия. Они не подчиняются законам коммутации и могут изменяться скачком.

Переходные процессы в цепях одним реактивным элементом Короткое замыкание в R-L цепи  На рисунке 1 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя контур.   До коммутации по индуктивности протекал ток .     Этот ток создавал постоянное магнитное поле в индуктивной катушке.

Определим закон изменения тока в индуктивности после коммутации. В соответствии с классическим методом: Определим закон изменения тока в индуктивности после коммутации. В соответствии с классическим методом: Принужденный ток после коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Индуктивный ток имеет только свободную составляющую: Магнитное поле, исчезая, индуктирует в индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в контуре существует за счет этой электродвижущей силы.

Запишем уравнение для свободного тока в контуре, используя второй закон Кирхгофа: Запишем уравнение для свободного тока в контуре, используя второй закон Кирхгофа: (1) Ищем решение этого уравнения в виде экспоненты: Производная: .

Подставим значения свободного тока и производной тока в уравнение (1): Подставим значения свободного тока и производной тока в уравнение (1): (2) Уравнение (2), полученное из уравнения (1), называется характеристическим. - корень характеристического уравнения; - постоянная времени переходного процесса, измеряется в секундах. Постоянная времени τ - это интервал времени, за который переходный ток уменьшается в раз. .

 Постоянную интегрирования А определяем с помощью начального условия.  Постоянную интегрирования А определяем с помощью начального условия. В соответствии с первым законом коммутации, . Получим: . Напряжение на индуктивности:    

На рисунке изображены кривые переходного тока в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. На рисунке изображены кривые переходного тока в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный ток и напряжение по экспоненте стремятся к нулю. В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный (4 ÷ 5) τ, переходный процесс заканчивается.

Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС В схеме на рисунке 2 до коммутации рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и подключает цепь к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения тока . . Принужденный ток в установившемся режиме после коммутации: . В свободном режиме из схемы исключен внешний источник питания. Схема на рис. 2 без источника ЭДС ничем не отличается от схемы на рис.1.

Свободный ток определяется по формуле: Свободный ток определяется по формуле: . Запишем значение переходного тока для момента коммутации, . , откуда .

До коммутации рубильник был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал.  Сразу после коммутации ток в индуктивности остается равным нулю. До коммутации рубильник был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал.  Сразу после коммутации ток в индуктивности остается равным нулю. . . . Напряжение на индуктивности: .

На рисунке 3 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности. На рисунке 3 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности. Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются до нуля. В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы по абсолютной величине. Переходный ток начинается при включении с нуля, затем возрастает, приближаясь к установившемуся постоянному значению.

Переходные процессы в цепях одним реактивным элементом Короткое замыкание в R-C цепи В схеме в результате коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя контур. До коммутации емкость полностью зарядилась до напряжения, равного ЭДС источника питания, то есть . После коммутации емкость полностью разряжается, следовательно, принужденный ток в цепи и принужденное напряжение на конденсаторе равны нулю. В цепи существует только свободный ток за счет напряжения заряженного конденсатора.

Запишем для контура уравнение по второму закону Кирхгофа: Запишем для контура уравнение по второму закону Кирхгофа: Ток через конденсатор: Получим дифференциальное уравнение   (1) Решение этого уравнения: 

Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения     в уравнение (1). Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения     в уравнение (1). Уравнение называется характеристическим.       - корень характеристического уравнения;     - постоянная времени переходного процесса;                            

Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному закону уменьшаются до нуля

Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, напряжение на нем . В результате коммутации рубильник замыкается, и конденсатор полностью заряжается. Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника питания: Переходное напряжение:

В момент коммутации В момент коммутации Постоянная интегрирования       В соответствии со вторым законом коммутации Переходное напряжение: Переходный ток: Кривые напряжений и тока изображены на рисунке:              

Переходные процессы в цепях с двумя реактивными элементами При последовательном соединении сопротивления , катушки индуктивности и конденсатора образуется электрический контур. Дифференциальное уравнение для тока в контуре:

После дифференцирования по и деления на получим: После дифференцирования по и деления на получим:         (2) Решение уравнения (2) равно сумме принужденной и свободной составляющих: В нашем случае принужденная составляющая переходного тока равна нулю, так как в схеме имеется емкость, являющаяся разрывом цепи для постоянного тока. Свободная составляющая является общим решением уравнения:        (3)

Пусть     Пусть     После подстановки этих выражений в уравнение (3) получим характеристическое уравнение:      Характеристическое уравнение имеет два корня: где - коэффициент затухания; - угловая резонансная частота контура без потерь.

Получим: Получим: Вид корней зависит от отношения где - характеристическое или волновое сопротивление контура; - добротность контура.

Спасибо за внимание!