Потенциал и работа электростатического поля. Связь напряженности с потенциалом презентация

3.1. Теорема о циркуляции вектора Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q' действует сила F

Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом q по перемещению заряда q' из точки 1 в точку 2. Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом q по перемещению заряда q' из точки 1 в точку 2. Работа на пути dl равна: где dr – приращение радиус-вектора при перемещении на dl;

Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна интегралу: Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна интегралу:

Если в качестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 заданного поля в точку 2, взять положительный единичный заряд q, то элементарная работа сил поля будет равна: Если в качестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 заданного поля в точку 2, взять положительный единичный заряд q, то элементарная работа сил поля будет равна:

Тогда вся работа равна: Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути: Это утверждение и называют теоремой о циркуляции. Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми

3.2. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия Электростатическое поле потенциально, т.е. обладает потенциальной энергией. Работу сил электростатического поля: Это выражение для работы можно переписать в виде: Потенциальная энергия заряда q' в поле заряда q:

3.3. Потенциал. Разность потенциалов Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями W', W'' и так далее. Однако отношение будет для всех зарядов одним и тем же. Поэтому можно вести скалярную величину, являющуюся энергетической характеристикой собственно поля – потенциал:

потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. потенциал точечного заряда физический смысл имеет разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.

Другое определение потенциала: Другое определение потенциала: потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность

Если поле создается системой зарядов, то: Если поле создается системой зарядов, то: Для потенциала или т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Работа сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками: Работа сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками: Работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала: где U – напряжение.

за единицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице. за единицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице. В СИ единица потенциала Электрон - вольт (эВ) – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона при прохождении им разности потенциалов 1 В, то есть:

3.4. Связь между напряженностью и потенциалом Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке можно найти так:

Тогда Тогда По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции – вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции.

Где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона Знак минус говорит о том, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.

Из условия следует одно важное соотношение, а именно, величина, векторного произведения для стационарных электрических полей всегда равна нулю. Величина называется ротором или вихрем Уравнение электростатики: Таким образом кулоновское электростатическое поле – безвихревое.

3.5. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности Напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности

Можно по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. или по известным значениям в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Для обхода по замкнутому контуру получим: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность

3.7. Расчет потенциалов простейших электростатических полей

На рисунке изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями. На рисунке изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями. При x1 = 0 и x2 = d

3.7.2. Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью С помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что

Тогда, т.к. Тогда, т.к. отсюда следует, что разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна:

3.7.3. Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

Т.к. , то Т.к. , то

Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем , Е = 0, φ = const; Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем , Е = 0, φ = const; между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону, вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю.

3.7.4. Разность потенциалов заряженной сферы (пустотелой) Напряженность поля сферы определяется формулой

А т.к. , то А т.к. , то

3.7.5. Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара Имеем диэлектрический шар заряженный с объемной плотностью

Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса: Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского-Гаусса:

Отсюда найдем разность потенциалов шара: Отсюда найдем разность потенциалов шара: или

Потенциал шара: Потенциал шара:

Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы: Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы: С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей. Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность. Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат.