Презентация, доклад Течение воды через песок и трубки


Вы можете изучить и скачать доклад-презентацию на тему Течение воды через песок и трубки. Презентация на заданную тему содержит 30 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций в закладки!
Презентации» Физика» Течение воды через песок и трубки
500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500500



Слайды и текст этой презентации
Слайд 1
Описание слайда:
Лекция 1. Течение воды через песок и трубки. Владимир Павлович Крайнов, кафедра теоретической физики МФТИ, 03.09.2016

Слайд 2
Описание слайда:
Характерный размер песчинки равен а; пористость песка равна  (это отношение объема пустот к суммарному объему песчинок и пустот). Медленное течение воды (или нефти) через поры в песке или другой пористой среды под действием градиента давления – это вязкое течение Пуазейля, имеющее место при малых числах Рейнольдса. Характерный размер песчинки равен а; пористость песка равна  (это отношение объема пустот к суммарному объему песчинок и пустот). Медленное течение воды (или нефти) через поры в песке или другой пористой среды под действием градиента давления – это вязкое течение Пуазейля, имеющее место при малых числах Рейнольдса.


Слайд 3
Описание слайда:
Наиболее плотная (гексагональная) упаковка песчинок в виде шариков, коэффициент пористости равен  = 0.26

Слайд 4
Описание слайда:
Мы моделируем поры полыми трубочками. Пусть l – длина трубочки, r – ее характерный поперечный размер, а р- малая разность давлений на концах трубочки. Скорость медленного течения пропорциональна градиенту давления : это первый член разложения скорости в ряд Тейлора в уравнениях Навье-Стокса. Подчеркнем, что скорость течения определяется именно градиентом давления, а не разностью давлений на концах трубочки. Мы моделируем поры полыми трубочками. Пусть l – длина трубочки, r – ее характерный поперечный размер, а р- малая разность давлений на концах трубочки. Скорость медленного течения пропорциональна градиенту давления : это первый член разложения скорости в ряд Тейлора в уравнениях Навье-Стокса. Подчеркнем, что скорость течения определяется именно градиентом давления, а не разностью давлений на концах трубочки.

Слайд 5
Описание слайда:
Коэффициент пропорциональности в этой зависимости (уже не содержащий l) можно оценить из соображений размерности – он содержит плотность воды , r и кинематическую вязкость воды . Последняя величина имеет размерность см2/с – она оценивается как произведение скорости молекулы воды на длину ее свободного пробега (вязкость среды определяется передачей импульса от одной молекулы к другой при столкновении друг с другом). Коэффициент пропорциональности в этой зависимости (уже не содержащий l) можно оценить из соображений размерности – он содержит плотность воды , r и кинематическую вязкость воды . Последняя величина имеет размерность см2/с – она оценивается как произведение скорости молекулы воды на длину ее свободного пробега (вязкость среды определяется передачей импульса от одной молекулы к другой при столкновении друг с другом).

Слайд 6
Описание слайда:
Получаем качественно формулу Пуазейля Получаем качественно формулу Пуазейля (1) Объемный расход жидкости через одну трубочку оценивается как (2)

Слайд 7
Описание слайда:
Если трубочка имеет цилиндрическую форму радиуса r, то численный коэффициент в этой зависимости равен  /8 (формула Пуазейля). Мы видим, что коэффициент имеет порядок единицы. Этот факт является достаточно общим утверждением: решение дифференциального уравнения (в данном случае, уравнения Навье-Стокса) с коэффициентами порядка единицы, как правило, также имеет порядок единицы. Эти соотношения справедливы при малом значении безразмерного числа Рейнольдса Если трубочка имеет цилиндрическую форму радиуса r, то численный коэффициент в этой зависимости равен  /8 (формула Пуазейля). Мы видим, что коэффициент имеет порядок единицы. Этот факт является достаточно общим утверждением: решение дифференциального уравнения (в данном случае, уравнения Навье-Стокса) с коэффициентами порядка единицы, как правило, также имеет порядок единицы. Эти соотношения справедливы при малом значении безразмерного числа Рейнольдса Тогда можно пренебречь нелинейным слагаемым в уравнении Навье-Стокса.

Слайд 8
Описание слайда:
Рассмотрим параллелепипед из песка длиной l и поперечным сечением S. Скорость течения воды через этот параллелепипед запишем в виде, аналогичным формуле (1) Рассмотрим параллелепипед из песка длиной l и поперечным сечением S. Скорость течения воды через этот параллелепипед запишем в виде, аналогичным формуле (1) Величина k называется коэффициентом проницаемости. Он имеет размерность площади. Нам требуется оценить его величину.

Слайд 9
Описание слайда:
Объемный расход воды через весь параллелепипед равен (закон Дарси) Объемный расход воды через весь параллелепипед равен (закон Дарси) (3) Это верно, если считать, что вода течет через множество трубочек, причем течения через различные трубочки не зависят друг от друга (лучше сказать, в лабиринте пустот в песке они редко пересекаются). Радиус трубочки r оценим ниже.

Слайд 10
Описание слайда:
В такой модели пористость  (отношение объема пустот к суммарному объему песчинок и пустот) можно представить в виде В такой модели пористость  (отношение объема пустот к суммарному объему песчинок и пустот) можно представить в виде (4) Здесь - суммарная площадь трубочек, через которые просачивается вода. Величина это число трубочек. Числовые множители во всех оценках опускаем.

Слайд 11
Описание слайда:
Число песчинок оценивается как Число песчинок оценивается как (5) Площадь поверхности всех песчинок, которые омывает вода, равна . Главная идея модели состоит в том, что, с другой стороны, эта площадь равна площади поверхности всех пустотелых трубочек, которые омывает вода. Получаем:

Слайд 12
Описание слайда:
(6) Подставляя (4) и (5) в (6), находим Отсюда получаем оценку для радиуса каждой трубочки (7)

Слайд 13
Описание слайда:
Конечно, при малой проницаемости ( << 1) радиус трубочки мал по сравнению с размером песчинки, в соответствии с качественным представлением о просачивании. Далее, из-за изгибов трубочки при обтекании песчинки длина трубочки больше высоты параллелепипеда l. Для шарообразной песчинки радиуса а эта длина увеличивается в  /2 раз. Однако при качественном подходе мы пренебрегаем всеми такими факторами. Конечно, при малой проницаемости ( << 1) радиус трубочки мал по сравнению с размером песчинки, в соответствии с качественным представлением о просачивании. Далее, из-за изгибов трубочки при обтекании песчинки длина трубочки больше высоты параллелепипеда l. Для шарообразной песчинки радиуса а эта длина увеличивается в  /2 раз. Однако при качественном подходе мы пренебрегаем всеми такими факторами.

Слайд 14
Описание слайда:

Слайд 15
Описание слайда:
Объемный расход q воды через одну трубочку дается соотношением (2). Расход воды через все трубочки равен Объемный расход q воды через одну трубочку дается соотношением (2). Расход воды через все трубочки равен Сравнивая эту формулу с определением (3), находим коэффициент проницаемости (учитывая (4))

Слайд 16
Описание слайда:
Подставляя радиус трубочки (7) в это соотношение, получим Подставляя радиус трубочки (7) в это соотношение, получим (8) Она справедлива при малом значении числа Рейнольдса

Слайд 17
Описание слайда:
При обычном условии  << 1 выражение (8) приобретает совсем простой вид При обычном условии  << 1 выражение (8) приобретает совсем простой вид (9) Видно, что коэффициент проницаемости очень сильно зависит от пористости среды. Если учесть все численные множители, опущенные выше, а также увеличение длины трубочки из-за ее изгиба при обтекании песчинок, о котором упоминалось выше, то получим формулу Козени-Кармана

Слайд 18
Описание слайда:
Формула Козени-Кармана Она хорошо согласуется с экспериментальными данными. (10) Малый численный множитель связан с увеличением длины трубочек из-за их сильного искривления.

Слайд 19
Описание слайда:
Водяные часы Сначала определим форму водяных часов, пренебрегая трением. Скорость вытекающей воды через отверстие радиуса r должна быть постоянна, чтобы часы шли равномерно. Обозначим ее V0.

Слайд 20
Описание слайда:
Обозначим радиальную координату стенок часов x, а высоту стенок для этой координаты y(x). Обозначим радиальную координату стенок часов x, а высоту стенок для этой координаты y(x). Уравнение несжимаемости воды имеет вид Здесь - скорость воды для координаты x. Уравнение Бернулли для жидкости без трения имеет вид (закон сохранения энергии)

Слайд 21
Описание слайда:
Исключая из этих двух уравнений скорость , находим уравнение формы часов Исключая из этих двух уравнений скорость , находим уравнение формы часов Обозначим высоту сосуда Тогда уравнение формы водяных часов принимает вид

Слайд 22
Описание слайда:
Начальный объем воды в часах равен Начальный объем воды в часах равен Вся вода вытечет за время Т, определяемое из соотношения Получаем Время вытекания не зависит от размера отверстия сосуда! Для высоты Н = 20м получим Т = 1 с.

Слайд 23
Описание слайда:
Учет трения в часах Возьмем сосуд в форме цилиндра, из которого по узкой трубке вытекает вода Радиус узкой трубки обозначим через r0

Слайд 24
Описание слайда:
Уравнение Навье-Стокса Стационарное уравнение Навье-Стокса при малых числах Рейнольдса имеет вид Здесь  - коэффициент кинематической вязкости. В цилиндрических координатах имеем для трубочки длиной l

Слайд 25
Описание слайда:
Решение уравнения Навье-Стокса, обращающееся в нуль на стенке трубочки радиуса имеет вид Решение уравнения Навье-Стокса, обращающееся в нуль на стенке трубочки радиуса имеет вид Скорость распределена по сечению трубочки по параболическому закону. Масса жидкости, протекающая в 1 с через трубочку, равна

Слайд 26
Описание слайда:
Вычисляя интеграл, получим формулу Пуазейля для массы, вытекающей в единицу времени из узкой трубки длиной l, равна Здесь  - коэффициент кинематической вязкости, а р = gl – перепад давления в узкой трубке. Итак, расход жидкости равен

Слайд 27
Описание слайда:
Вся вода вытечет из сосуда за время Т, определяемое из соотношения Вся вода вытечет из сосуда за время Т, определяемое из соотношения Здесь Н – высота основного сосуда, а R - его радиус. Получаем Кинематическая вязкость воды равна  = 0.01 см2/с. Возьмем r0 = 1 мм, R = 10 cм, Н = 1 м. Получаем Т = 2.2 часа.

Слайд 28
Описание слайда:
Если вместо воды в тот же сосуд налить глицерин, то из-за его большой вязкости  = 6.8 см2/с, время работы часов значительно увеличивается: до 2 месяцев. Если вместо воды в тот же сосуд налить глицерин, то из-за его большой вязкости  = 6.8 см2/с, время работы часов значительно увеличивается: до 2 месяцев. Однако отверстие сосуда нельзя делать слишком малым из-за поверхностного натяжения жидкости, которое может прекратить ее истечение.

Слайд 29
Описание слайда:

Слайд 30
Описание слайда:
Спасибо за внимание


Скачать презентацию на тему Течение воды через песок и трубки можно ниже:

Похожие презентации